Magnetosztatika példák - Négyzetes keresztmetszetű toroid forgástengelyében hosszú egyenes vezetővel

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetszámú, $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ belső sugarú, $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalhosszúságú négyzetes keresztmetszetű toroid forgástengelyében hosszú egyenes vezető helyezkedik el. Mekkora a rendszer kölcsönös induktivitása?

Megoldás

Folyjon $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram a végtelen hosszú egyenes vezetőben. Ennek mágneses terét a hely függvényében könnyen meghatározhatjuk az Amper-féle gerjesztési törvény segítségével:

$\[B(r)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\]$

Határozzuk meg a végtelen vezető által keltett $\setbox0\hbox{$B(r)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mágneses indukció toroid négyzetes keresztmetszete által határolt fluxusát:

$\[\phi=\int{}BdA=a\int_{d}^{d+a}B(r)dr=\dfrac{\mu_0 aI}{2\pi}\int_{d}^{d+a}\dfrac{1}{r}dr=\dfrac{\mu_0 aI}{2\pi} ln \left( \dfrac{d+a}{d} \right)\]$

Ez alapján a kölcsönös indukció könnyen számítható, ha tudjuk, hogy a fent kiszámított fluxust a tekercs $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szer kerüli meg:

$\[L=\dfrac{N\Phi}{I}=\dfrac{\mu_0 Na}{2\pi} ln \left( \dfrac{d+a}{d} \right)\]$