Magnetosztatika példák - Különböző permeabilitású anyagokat tartalmazó szalagpár

Feladat

1. Mekkora az öninduktivitása az 1. ábrán vázolt $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szélességű, $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, egymástól $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra levő szalagpárnak, ha a szalagok közötti tér egyik felét $\setbox0\hbox{$\mu_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a másik felét $\setbox0\hbox{$\mu_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ relatív mágneses permeabilitású anyag tölti ki? Tételezzük fel, hogy $\setbox0\hbox{$L\gg D\gg d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   
   

Megoldás

Áramjárta vezető rendszer $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ öninduktivitása, és az áramok keltette mágneses tér $\setbox0\hbox{$E_{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energiája között az alábbi összefüggés írható fel.

$\[E_{m}=\dfrac{1}{2}LI^2\]$

Tehát, ha meghatározzuk a tér energiáját, kiszámíthatjuk az öninduktivitást. Ehhez azonban a tér minden pontjában ismernünk kell a mágneses teret. A $\setbox0\hbox{$l\gg D\gg d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feltételnek köszönhetően az ellentétes irányokba folyó áramoktól átjárt szalagok igen közel vannak egymáshoz, tehát szalagokon kívüli térben indukált mágneses mező már nagyságrendileg $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban elhanyagolható értékű. Élhetünk tehát azzal a feltételezéssel, hogy mágneses indukció csak a két lemez közti térben található, valamint azzal, hogy a mágneses tér a két közegben homogén. Ezt kihasználva felvesszük a 2. ábra szerinti zárt görbét, és felírjuk rá az Amper-féle gerjesztési törvényt.

2. ábra

$\[ I= \oint \overline{H}d\overline{l}=H_{1}\dfrac{D}{2}+H_{2}\dfrac{D}{2}\]$

Ahol $\setbox0\hbox{$H_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$H_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a lemezek közti teret kitöltő, eltérő mágneses permeabilitású közegekben mérhető mágneses térerősség értékei. Tudjuk, hogy a közeghatáron az arra merőleges mágneses indukció folytonosan halad át, ezért a mágneses térerősség nagysága:

$\[ H_{1}=\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{1}}\]$

$\[H_{2}=\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{2}}\]$

Helyettesítsük be ezeket a gerjesztési törvénybe:

$\[ I=\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{1}}\dfrac{D}{2}+\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{2}}\dfrac{D}{2}\]$

Ebből kifejezhetjük az ismeretlen mágneses indukciót:

$\[ B=\dfrac{2\mu_0 I}{D}\dfrac{\mu_1 \mu_2}{\mu_1 +\mu_2}\]$

Ezzel a mágneses térerősségek:

$\[ H_1=\dfrac{2 I}{D}\dfrac{\mu_2}{\mu_1 +\mu_2}\]$

$\[ H_2=\dfrac{2 I}{D}\dfrac{\mu_1}{\mu_1 +\mu_2}\]$

A lemezek közt található két közegben meghatározható a mágneses tér energiasűrűsége:

$\[e_1=\dfrac{1}{2}BH_1=\dfrac{2\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2 ^2}{D^2 (\mu_1+\mu_2)^2} \]$

$\[e_2=\dfrac{1}{2}BH_2=\dfrac{2\mu_0 I^2 \mu_1^2 \mu_2 }{D^2 (\mu_1+\mu_2)^2} \]$

A tér mágneses energiája így:

$\[ E_m= \int \ edV=e_1 \dfrac{D}{2}ld+e_2 \dfrac{D}{2}ld\]$

Behelyettesítve ebbe a fentebb meghatározott $\setbox0\hbox{$e_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$e_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energiasűrűség értékeket megkapjuk a mágneses térben tárolt energiát.

$\[ E_m=\dfrac{I^2 ld \mu_1 \mu_2}{D(\mu_1+\mu_2)}\]$

A tér energiája, és a rendszer öninduktivitása közötti összefüggést felírva az alábbi egyenletet kapjuk:

$\[ E_m=\dfrac{I^2 ld \mu_1 \mu_2}{D(\mu_1+\mu_2)}=\dfrac{1}{2}LI^2\]$

Mely alapján meghatározható az öninduktivitás:

$\[ L=\dfrac{ 2ld \mu_1 \mu_2}{D(\mu_1+\mu_2)}\]$