Mechanika - Relativisztikus Doppler mechanikai hullámra

Feladat

1. (**7.8.) Egy $\setbox0\hbox{$\Psi=A\cos(\omega t-kx)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakú rugalmas síkhullám $\setbox0\hbox{$c^*$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel terjed a $\setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ közegben. Határozzuk meg ennek a hullámnak a matematikai alakját abban a $\setbox0\hbox{$K'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rendszerben, amely az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengely irányában a $\setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ közeghez képest $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel halad, mind nem-relativisztikus, mind relativisztikus esetben!

Megoldás

Nem-relativisztikus esetben a koordináta-transzformációk

$\[t=t'\]$

$\[x=x'+vt\]$

Ezeket beírva a hullámfüggvény argumentumába a $\setbox0\hbox{$t'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel és $\setbox0\hbox{$x'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel arányos tényezőkből az alábbiak leolvashatók le:

$\[k'=k\]$

$\[\omega'=\omega-vk,\]$

így a hullámhossz nem változik, a frekvencia és a terjedési sebesség viszont igen:

$\[f'=f\left(\frac{c^*-v}{c^*}\right)=f\left(1-\frac v{c^*}\right),\]$

azaz mozgó megfigyelő esetén ez a Doppler-hatás eredménye az észlelt frekvenciára, továbbá

$\[(c^*)'=c^*-v\]$

Relativisztikus esetben a Lorentz-transzformáció képleteit kell alkalmazni:

$\[x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]$

$\[t=\frac{t'+\frac v{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\]$

ahol $\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a fénysebesség. Ezeket beírva a hullámfüggvény argumentumába a $\setbox0\hbox{$t'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel és $\setbox0\hbox{$x'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel arányos tényezőkből az alábbiak leolvashatók le:

$\[k'=\frac{k-\frac v{c^2}\omega}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{k(1-\frac{vc^*}{c^2})}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]$

$\[\omega'=\frac{\omega-kv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{\omega(1-\frac v{c^*})}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\]$

tehát az észlelt frekvencia és a hullámszám is más. Ezek következtében az észlelt terjedési sebesség

$\[(c^*)'=\frac{\omega'}{k'}=\frac{\omega(1-v/c^*)}{k(1-vc^*/c^2)}=c^*\frac{1-v/c^*}{1-vc^*/c^2}=\frac{c^*-v}{1-\frac{vc^*}{c^2}},\]$

amely megfelel a relativisztikus sebességösszeadás szabályainak. Érdemes megjegyezni, hogy a $\setbox0\hbox{$c^*=c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetben visszakapjuk az elektromágneses hullámokra érvényes Doppler-képleteket. Ha a forrásnak is megengedtünk volna mozgást, akkor még bonyolultabb relativisztikus összefüggés kapható rugalmas hullámokra. Ez kis sebességek esetén visszaadja a nem-relativisztikus összefüggést, másrészt $\setbox0\hbox{$c^*=c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetben úgy alakul át, hogy csak a forrás és a megfigyelő relatív sebessége számít, ha azt a relativisztikus sebességöszeadás szerint határozzuk meg.

(Bővebben: http://mathpages.com/rr/s2-04/2-04.htm)