Termodinamika példák - Dinamikus fűtés hőszivattyúval

Feladat

1. Egy épület fűtésére az ún. dinamikus fűtést használjuk:
   1. A fűtőanyagot elégetjük egy hőerőgép tűzszekrényében, melynek hőmérsékletét állandó $\setbox0\hbox{$T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékleten tartjuk (ez a hőerőgép felső hőtartálya).
   2. A hőerőgép egy hőszivattyút működtet, amelynek alsó hőtartálya egy tó $\setbox0\hbox{$T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű vize, felső hőtartálya pedig a hőerőgépet hűtő $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű víz, amely az épületet egyúttal fűti ($\setbox0\hbox{$T_1>T>T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$).

   A tűzszekrényben $\setbox0\hbox{$q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ égéshőjű anyag ég, a hőerőgép és a hőszivattyú veszteség nélkül Carnot--hatásfokkal működik. Határozzuk meg, mennyi hőt kap a helyiség egységnyi tömegű fűtőanyag elégetése árán!

Megoldás

A dinamikus fűtési elrendezés

A $\setbox0\hbox{$C_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ körfolyamat által termelt munka

$\[W=Q_1-|Q_1'|,\]$

a körfolyamat hatásfoka pedig

$\[\eta_1=\frac{W}{Q_1}=1-\frac{|Q_1'|}{Q_1}=1-\frac{T}{T_1}.\]$

Kifejezve a lakásnak átadott $\setbox0\hbox{$Q_1'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ maradványhőt

$\[|Q_1'|=Q_1\frac{T}{T_1}\]$

a munka kifejezése egyszerűsödik:

$\[W=Q_1\left(1-\frac{T}{T_1}\right).\]$

Mivel a felső hőtartályt állandó hőmérsékletűnek tartjuk $\setbox0\hbox{$Q_1=q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

A $\setbox0\hbox{$C_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ körfolyamat hatásfoka

$\[\eta_2=\frac{W}{|Q_2'|}=1-\frac{T_2}{T}\]$

segítségével a fűtésre juttatott hő kifejezhető:

$\[|Q_2'|=\frac{W}{1-\frac{T_2}{T}}=Q_1\frac{1-\frac{T}{T_1}}{1-\frac{T_2}{T}}\]$

A teljes rendszer fűtőteljesítménye

$\[Q=|Q_1'|+|Q_2'|=Q_1\left(\frac{T}{T_1}+\frac{1-\frac{T}{T_1}}{1-\frac{T_2}{T}}\right)= Q_1\left(\frac{\frac{T}{T_1}-\frac{T_2}{T_1}}{1-\frac{T_2}{T}}+\frac{1-\frac{T}{T_1}}{1-\frac{T_2}{T}}\right)= Q_1\frac{1-\frac{T_2}{T_1}}{1-\frac{T_2}{T}}>q\]$

hiszen $\setbox0\hbox{$T_1>T>T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.