Termodinamika példák - Ideális gáz állapotváltozása p-V összefüggéssel

Feladat

1. Ideális gáz állapotváltozását a $\setbox0\hbox{$p-V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ síkon a $\setbox0\hbox{$p=f(V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggés írja le.
   • a) Bizonyítsa be, hogy ebben a folyamatban a fajhő térfogatfüggését a
     $\[C(V)=C_V+R\frac{f(V)}{f(V)+\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}}\]$
     összefüggés adja meg!
   • b) Milyen $\setbox0\hbox{$p_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$V_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékpárnál maximális a gáz hőmérséklete, ha az állapotváltozást a $\setbox0\hbox{$p=a-bV$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyenlet adja meg ($\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ismert pozitív állandók)?

Megoldás

a) Egy tetszőleges folyamat során mérhető fajhő meghatározásához vissza kell nyúlnunk annak a közölt hőmennyiséggel adott $\setbox0\hbox{$c n\,\mathrm{d}T = \delta Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ definíciójához, ezt pedig az I. főtételből tudjuk számítani:

$\[ \delta Q = \mathrm{d}U + p\,\mathrm{d}V \]$

$\[ c n\,\mathrm{d}T = c_V n\,\mathrm{d}T + p\,\mathrm{d}V \]$

$\[ c = c_V + \frac1n p \left[\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right]_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}} \]$

A $\setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomáűs adott az $\setbox0\hbox{$f(V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvénykapcsolattal, még a fenti, állapotváltozás pályáján vett deriváltat kell ezzel kifejeznünk. Induljunk ki az ideális gáz állapotegyenletéből!