Magnetosztatika példák - Négyzet keresztmetszetű toroid tekercs öninduktivitása

Feladat

1. Határozzuk meg egy $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalú, négyzet keresztmetszetű, $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetű toroid tekercs öninduktivitását, ha a tekercs belső sugara $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$!

Megoldás

A gerjesztési törvény szerint

$\[\oint \overrightarrow{B}\overrightarrow{\mathrm{d}r}=\mu_0 N I.\]$

Az integrálási görbét a toroid középkörével koncentrikusan vesszük fel, így $\setbox0\hbox{$\overrightarrow{B}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ párhuzamos lesz $\setbox0\hbox{$\overrightarrow{\mathrm{d}r}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-rel, a vektorjelölést elhagyhatjuk. A körszimmetria miatt $\setbox0\hbox{$B=B(r)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ezzel az integrálunk egyszerűsödik, és $\setbox0\hbox{$B(r)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re a következőt kapjuk:

$\[B(r)=\frac{\mu_0 N I}{2 r \pi}.\]$

Egy menetre kiszámítva a fluxust:

$\[\Phi_1=\int_{b}^{a+b} B(r) a \mathrm{d}r = \frac{\mu_0 N I a}{2\pi}\mathrm{ln}\frac{a+b}{b}.\]$

$\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ menetre számítva a fluxust, az ennek $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szerese: $\setbox0\hbox{$\Phi_N = N \Phi_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

Az önindukciós tényező tehát

$\[L=\frac{\Phi_N}{I}=\frac{\mu_0 N^2 a}{2\pi}\mathrm{ln}\frac{a+b}{b}.\]$