Mechanika - Hullámok

Feladatok

1. (7.1.) Mi a frekvenciája és terjedési sebessége az
   $\[y=4\sin2\pi\left(\frac t{0,02}-\frac x4\right)\]$
   függvénnyel megadott hullámnak? ($\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t s-okban, $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-et m-ekben mérjük.)
   Végeredmény [mutat]

   $\[f=50\,\rm{Hz}\]$

   $\[v=200\,\rm{\frac ms}\]$
   Megoldás
   
   
2. (S-Je8 16.18) Egy húron terjedő transzverzális szinuszos hullám periódusideje $\setbox0\hbox{$T=25\,\rm{ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, és $\setbox0\hbox{$30\,\rm{\frac ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel halad $\setbox0\hbox{$-x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányban. Az $\setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont kitérése $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ban $\setbox0\hbox{$2\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, sebessége $\setbox0\hbox{$2\,\rm{\frac ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora a hullám amplitúdója? Mekkora a kezdőfázisa? Írjuk fel a hullámfüggvényt!
   Végeredmény [mutat]

   A hullámfüggvény SI egségekben:

   $\[y(x,t)=0,0215\sin(80\pi\,t+8,38x+1,95)\]$
   Megoldás
   
   
3. (7.3.) Egy húron csillapítatlan transzverzális hullám terjed $\setbox0\hbox{$3\,\rm{\frac ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel pozitív irányban. Amplitúdója $\setbox0\hbox{$8\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, frekvenciája $\setbox0\hbox{$0,5\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpillanatban $\setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyen levő részecske kitérése $\setbox0\hbox{$4\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és negatív irányban mozog. Mekkora a kitérése az $\setbox0\hbox{$x=4\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyen levő részecskének $\setbox0\hbox{$t=2\,\rm s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpillanatban?
   Végeredmény [mutat]

   $\[y(4,2)=-8\,\rm{cm}\]$
   Megoldás
   
   
4. (7.5.) Egy spirálrugó hosszában longitudinális hullám halad 4 m/s sebességgel. Két egymás után következő sűrűsödési hely távolsága 80 cm, a részecskék rezgési amplitúdója 3 mm. Mekkora a sebességamplitúdó? Mekkora energiával rendelkezik a rezgő rugó egy 0,16 g tömegű részecskéje?
   Végeredmény [mutat]

   $\[v_{\rm{max}}=9,4\,\rm{\frac{cm}s}\]$

   $\[E=7,1\cdot10^{-7}\,\rm J\]$
   Megoldás
   
   
5. (7.9.) Egy húr hosszirányában két transzverzális hullám fut végig. Mindkettő azonos $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ körfrekvenciával és $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ amlitúdóval a pozitív $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengely irányában halad. Az első hullám hatására egy, az origóban levő részecske a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban éppen az egyensúlyi helyzeten halad át a pozitív $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengely irányában. A második hullám egy negyed hullámhossz útkülönbséggel késik az elsőhöz képest. Adjuk meg a húr tetszés szerinti részecskéjének rezgési egyenletét! Mekkora a kitérés az $\setbox0\hbox{$x=\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyen $\setbox0\hbox{$t=T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban?
   Útmutatás [mutat]

   Állapítsuk meg a két hullámfüggvényt, és ezekből képezzük az eredő hullám komplex amplitúdóját és hullámfüggvényét!
   Végeredmény [mutat]

   $\[y(x,t)=\sqrt2A\sin\left(\omega t-kx-\frac{\pi}4\right)\]$

   $\[y(\lambda,T)=\sqrt2A\sin\left(-\frac{\pi}4\right)=-A\]$
   Megoldás
   
   
6. (7.15.) Állapítsuk meg egy $\setbox0\hbox{$L=0,85\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszú sípban lévő levegőoszlop $\setbox0\hbox{$1250\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nél kisebb frekvenciájú rezgéseinek számát! A hang terjedési sebessége $\setbox0\hbox{$c=340\,\rm{\frac ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Legyen a síp

   a) egyik végén zárt,

   b) mindkét végén nyitott!

   Útmutatás [mutat]

   Állapítsuk meg az alaprezgések és felharmonikusok frekvenciáit!

   Végeredmény [mutat]

   Mindkét esetben 6 db ilyen rezgés van.

   Megoldás

   
   

7. (7.16.) Egy lövedék fejhulláma kúppalástot alkot, amelynek fél nyílásszöge $\setbox0\hbox{$30^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora a lövedék sebessége?
   Végeredmény [mutat]

   $\[v_f=2c=680\,\rm{\frac ms}\]$
   Megoldás
   
   
8. (7.18.) Egy gőzmozdony $\setbox0\hbox{$20\,\rm{\frac ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel közeledik a megfigyelőhöz. Milyen magasnak hallja egy nyugvó megfigyelő a mozdony sípjának alaphangját, ha azt a mozdonyvezető $\setbox0\hbox{$300\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rezgésszámúnak hallja? Mennyivel változik meg e síphang felharmonikusainak frekvenciája? ($\setbox0\hbox{$c=330\,\rm{\frac ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)
   Végeredmény [mutat]

   $\[f_1'=319,4\,\rm{Hz}\]$

   $\[\Delta f_n=n\Delta f_1\]$
   Megoldás
   
   
9. (*7.19.) Egy $\setbox0\hbox{$1024\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciájú hangvillát $\setbox0\hbox{$1,5\,\rm{\frac ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel közelítünk merőleges irányban egy sima fal felé. Hány lebegést észlel másodpercenként az az álló megfigyelő, aki távolabb a hangvillától annak pályaegyenesén van? Mit hall a hangvillát tartó személy? ($\setbox0\hbox{$c=330\,\rm{\frac ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)
   Útmutatás [mutat]

   A megfigyelő a hangvilla és a "tükörképe" hangját hallja.
   Végeredmény [mutat]

   $\[f_L=9,309\,\rm{Hz}\]$

   $\[f_{L2}=9,352\,\rm{Hz}\]$
   Megoldás
   
   
10. (*7.21.) Két vonat halad azonos irányban $\setbox0\hbox{$90\,\rm{km/h}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel, közöttük $\setbox0\hbox{$l=2\,\rm{km}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-es közzel. Mit észlel az ábra szerinti $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontban elhelyezkedő megfigyelő, ha a vonatok egyidejűleg $\setbox0\hbox{$500\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciájú jelzéseket adnak? ($\setbox0\hbox{$b=1\,\rm{km}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a hang sebessége $\setbox0\hbox{$c=350\,\rm{\frac ms}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)
    
    Útmutatás [mutat]

    Vegyük a sebességek megfelelő irányú komponensét!
    Végeredmény [mutat]

    A lebegés frekvenciája

    $\[f_L=50,6\,\rm{Hz}\]$
    Megoldás
    
    
11. (*7.22.) Egy kétmotoros repülőgép közvetlenül egy nyugvó megfigyelő felett repül el. A két állandó, de egymástól kissé eltérő fordulatszámmal járó motor lüktető hangot eredményez, amely közeledő gépnél $\setbox0\hbox{$4\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, távolodónál $\setbox0\hbox{$2\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-es lebegésnek bizonyul szélcsendes időben. Mekkora a gép sebessége?
    Útmutatás [mutat]

    Írjuk fel a Doppler eltolódásokat, és vegyük a lebegési frekvenciák hányadosát!
    Végeredmény [mutat]

    $\[v=\frac c3\]$
    Megoldás
    
    
12. (7.26.) Egy gömbhullámokat kibocsátó, pontszerű hullámforrás az $\setbox0\hbox{$\vec r_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\vec r_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyzetvektorú pontokat összekötő egyenesen van. Ezekben a pontokban a hullám amplitúdója ismert: $\setbox0\hbox{$a_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$a_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Adjuk meg a hullámforrás $\setbox0\hbox{$\vec r_s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyzetvektorának kifejezését! (A hullám csillapodása elhanyagolható, a közeg homogén.)
    Végeredmény [mutat]

    $\[x_s=\frac{a_1x_1+a_2x_2}{a_1+a_2}\]$
    Megoldás
    
    
13. (7.28.) Egy $\setbox0\hbox{$15\,\rm N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erővel meghúzott húr alaphangja és egy hangvilla hangja $\setbox0\hbox{$f_L=8\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciájú lebegést eredményez. Ha a húzóerőt $\setbox0\hbox{$16\,\rm N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ra növeljük, akkor a lebegés megszűnik. Mennyi a hangvilla frekvenciája?
    Végeredmény [mutat]

    $\[f_h=252\,\rm{Hz}\]$
    Megoldás
    
    
14. (7.29.) Számítsuk ki, hogy mekkora energia van egy húr $\setbox0\hbox{$80\,\rm g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os részében (feltételezzük, hogy ez a rész sokkal rövidebb a hullámhossznál), ha a húrban $\setbox0\hbox{$A=0,160\,\rm{mm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ amplitúdójú és $\setbox0\hbox{$f=120\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-es hullám terjed!
    Végeredmény [mutat]

    $\[E=0,58\,\rm{mJ}\]$
    Megoldás
    
    
15. (7.30.) Egy izotróp pontforrás $\setbox0\hbox{$f=1450\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciájú hullámokat bocsát ki. A forrástól $\setbox0\hbox{$r_1=5\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re a közeg részecskéi $\setbox0\hbox{$A_1=50\,\rm{\mu m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ amplitúdójú rezgést végeznek, $\setbox0\hbox{$r_2=10\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re pedig az amplitúdó $\setbox0\hbox{$A_2=\frac{A_1}3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ Mennyi a hullám $\setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ csillapítási tényezője? Mennyi a $\setbox0\hbox{$v_{\text{max}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességamplitúdó a távolabbi pontban?
    Útmutatás [mutat]

    A hullám amplitúdója az 1/r-es faktoron kívül még exponenciálisan is csökken.
    Végeredmény [mutat]

    $\[\mu=0,08\,\rm{\frac1m}\]$

    $\[v_{\text{max}}=15,2\,\rm{\frac{cm}s}\]$
    Megoldás
    
    
16. (**7.8.) Egy $\setbox0\hbox{$\Psi=A\cos(\omega t-kx)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakú rugalmas síkhullám $\setbox0\hbox{$c^*$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel terjed a $\setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ közegben. Határozzuk meg ennek a hullámnak a matematikai alakját abban a $\setbox0\hbox{$K'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rendszerben, amely az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengely irányában a $\setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ közeghez képest $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel halad, mind nem-relativisztikus, mind relativisztikus esetben!
    Útmutatás [mutat]

    Alkalmazzunk megfelelő koordináta-transzformációt a hullámfüggvény argumentumában, és olvassuk le a mozgó rendszerben észlelhető hullámszámot és körfrekvenciát!
    Megoldás