Mechanika - Gömbhullám

Feladat

1. (7.26.) Egy gömbhullámokat kibocsátó, pontszerű hullámforrás az $\setbox0\hbox{$\vec r_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\vec r_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyzetvektorú pontokat összekötő egyenesen van. Ezekben a pontokban a hullám amplitúdója ismert: $\setbox0\hbox{$a_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$a_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Adjuk meg a hullámforrás $\setbox0\hbox{$\vec r_s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyzetvektorának kifejezését! (A hullám csillapodása elhanyagolható, a közeg homogén.)

Megoldás

Legyen a pontforrás amplitúdóját jellemző állandó $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így tőle tetszőleges $\setbox0\hbox{$r>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban a tényleges amplitúdó $\setbox0\hbox{$a(r)=\frac Ar$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Legyen az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengely az összekötő egyenes, így a problémát egydimneziósan tárgyalhatjuk. Feltéve, hogy a pontforrás az összekötő egyenesen belül az összekötő szakaszon van valahol, azaz $\setbox0\hbox{$x_1<x_s<x_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$,

$\[a_1=\frac A{x_s-x_1}\]$

$\[a_2=\frac A{x_2-x_s}\]$

$\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t kiejtve

$\[a_1(x_s-x_1)=a_2(x_2-x_s),\]$

mely rendezve

$\[x_s=\frac{a_1x_1+a_2x_2}{a_1+a_2}\]$

Ha a forrás az összekötő egyenes másik két szakaszán van, analóg módon kapható a másik két megoldás.