Mechanika - Húr és hangvilla

Feladat

1. (7.28.) Egy $\setbox0\hbox{$15\,\rm N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erővel meghúzott húr alaphangja és egy hangvilla hangja $\setbox0\hbox{$f_L=8\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciájú lebegést eredményez. Ha a húzóerőt $\setbox0\hbox{$16\,\rm N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ra növeljük, akkor a lebegés megszűnik. Mennyi a hangvilla frekvenciája?

Megoldás

Legyen a két húzóerő rendre $\setbox0\hbox{$F_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$F_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a két alaphang frekvenciája pedig $\setbox0\hbox{$f_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$f_2=f_h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$f_h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a hangvilla frekvenciája. Mivel a húr hossza adott, a két esetben a hullámhossz is közös, ellenben a terjedési sebesség nem. $\setbox0\hbox{$v=\lambda f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ miatt

$\[\frac{f_1}{f_2}=\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{F_1}{F_2}},\]$

mivel a terjedési sebességre a hullámegyenletből $\setbox0\hbox{$v=\sqrt{\frac F \mu}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a húr hosszegységre eső tömege pedig szintén adott. Ezekeből a lebegési frekvencia

$\[f_L=f_2-f_1=f_h-f_h\sqrt{\frac{F_1}{F_2}},\]$

melyből a hangvilla frekvenciája

$\[f_h=\frac{f_L}{1-\sqrt{\frac{F_1}{F_2}}}=252\,\rm{Hz}\]$