Feladat
- (**7.8.) Egy
alakú rugalmas síkhullám
sebességgel terjed a
közegben. Határozzuk meg ennek a hullámnak a matematikai alakját abban a
rendszerben, amely az
tengely irányában a
közeghez képest
sebességgel halad, mind nem-relativisztikus, mind relativisztikus esetben!
Megoldás
Nem-relativisztikus esetben a koordináta-transzformációk
Ezeket beírva a hullámfüggvény argumentumába a
![\setbox0\hbox{$t'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/4/8/b4824633ff0dbd046a2b2c83864073fc.png)
-vel és
![\setbox0\hbox{$x'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/e/5/2/e52ecb0965cb9f76a794972726d10e90.png)
-vel arányos tényezőkből az alábbiak leolvashatók le:
, így a hullámhossz nem változik, a frekvencia és a terjedési sebesség viszont igen:
azaz mozgó megfigyelő esetén ez a Doppler-hatás eredménye az észlelt frekvenciára
és
![\setbox0\hbox{$v>c^*$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/f/6/bf6523968f051c55cd6c6eab34d6e96d.png)
esetben nem is észlelhető a hullámzás. Relativisztikus esetben a Lorentz-transzformáció képleteit kell alkalmazni:
ahol
![\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/4/8/1/48146296234c40b2c3c9b2c93e3c991f.png)
a fénysebesség. Ezeket beírva a hullámfüggvény argumentumába a
![\setbox0\hbox{$t'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/4/8/b4824633ff0dbd046a2b2c83864073fc.png)
-vel és
![\setbox0\hbox{$x'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/e/5/2/e52ecb0965cb9f76a794972726d10e90.png)
-vel arányos tényezőkből az alábbiak leolvashatók le:
tehát az észlelt frekvencia és a hullámszám is más. Ezek következtében az észlelt terjedési sebesség
amely megfelel a relativisztikus sebességösszeadás szabályainak, és
![\setbox0\hbox{$v>c^*$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/f/6/bf6523968f051c55cd6c6eab34d6e96d.png)
esetén továbbra sem észlelhető a hullámzás. Érdemes megjegyezni, hogy a
![\setbox0\hbox{$c^*=c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/a/f/3/af31c64cef7a4d2251e76817258d65b1.png)
esetben visszakapjuk az elektromágneses hullámokra érvényes Doppler-képleteket. Ha a forrásnak is megengedtünk volna mozgást, akkor még bonyolultabb relativisztikus összefüggés kapható rugalmas hullámokra. Ez kis sebességek esetén visszaadja a nem-relativisztikus összefüggést, másrészt
![\setbox0\hbox{$c^*=c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/a/f/3/af31c64cef7a4d2251e76817258d65b1.png)
esetben úgy alakul át, hogy csak a forrás és a megfigyelő relatív sebessége számít, ha azt a relativisztikus sebességöszeadás szerint határozzuk meg.
(Bővebben: http://mathpages.com/rr/s2-04/2-04.htm)