Termodinamika példák - Ideális gáz állandó mólhőjű folyamatai

Feladat

1. Határozzuk meg azon lehetséges folyamatokat megadó összefüggést, amelyek közben az ideális gáz mólhője állandó (az állandó nyomáson és állandó térfogaton mért mólhőket tekintsük ismertnek)! Vezessük le a kapott egyenletből az ismert, állandó mólhőjű speciális folyamatok egyenletét.

Megoldás

Az ideális gáz általános fajhőjére az előző feladatban bizonyítottuk, hogy

$\[C n \mathrm{d}T = C_V n \mathrm{d}T+ p\left(\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}\mathrm{d}T,\]$

küszöböljük ki $\setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t az állapotegyenlet segítségével ($\setbox0\hbox{$p=nR\frac{T}{V}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$),

$\[ \frac{C-C_V}{R} \frac{\mathrm{d}T}{T} = \frac{\mathrm{d}V}{V},\]$

és integráljunk az állapotváltozás vonalán:

$\[ \frac{C-C_V}{R} \ln T = \ln V + \ln \mathrm{const.} \]$

Mivel $\setbox0\hbox{$T=\frac{pV}{nR}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ez

$\[ p = \mathrm{const.} V^{\textstyle \frac{R}{C-C_V}-1} = \mathrm{const.} V^{\textstyle \frac{C_p-C}{C-C_V}} \]$

egyenletre vezet, az állandó fajhőjű folyamatokat állandó nyomáson és térfogaton mért fajhőkkel jellemző összefüggés pedig

$\[ pV^{\textstyle \frac{C_p-C}{C_V-C}} = \mathrm{const.}. \]$

Megjegyzés

Ugyanerre az eredményre eljuthatunk a következő feladatban bizonyítandó

$\[ C(V) = C_V + \frac R{1+\frac V p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}} \]$

öszefüggésből indulva is. Feltéve, hogy a fajhő állandó, a kifejezésben szereplő tört nevezője is állandó:

$\[ \frac V p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = A.\]$

A változókat szétválasztva és integrálva

$\[\frac{\mathrm{d}p} p=A\frac{\mathrm{d}V} V\]$

$\[ \ln \frac p{p_0}=A\ln \frac V{V_0} \]$

$\[ p= p_0{\left(\frac V{V_0}\right)}^A \]$

A bevezetett állandót kifejezhetjük

$\[ C(V) =C_V+\frac{R}{1+A}\]$

egyenletből:

$\[A=\frac R{C-C_V}-1=\frac{C_p-C}{C-C_V}, \]$

amivel

$\[ p V^{\textstyle \frac{C-C_p}{C-C_V}}=\mathrm{const.}\]$