Termodinamika példák - Ideális gáz egy körfolyamata izotermával

Feladat

1. $\setbox0\hbox{$n\,\mathrm{mol}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$p_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomású kétatomos ideális gázt $\setbox0\hbox{$V_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatról állandó nyomáson $\setbox0\hbox{$V_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatúra nyomunk össze (az ábrán 1-es út). Ezen az állandó térfogaton eredeti hőmérsékletére melegítjük (2-es út), majd izotermiksan a kiinduló térfogatára tágítjuk (3-as út).
   
   • a) Mennyivel változott a gáz belső energiája az 1-es úton?
   • b) Mennyivel hőt kellet közölnünk a gázzal a 2-es úton?
   • c) Mekkora a gáz által végzett munka és a gáz által felvett hő a teljes körfolyamatban?

Megoldás

A kétatomos ideális gázt $\setbox0\hbox{$f=5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szabadsági fok és $\setbox0\hbox{$\gamma=\frac{f+2}{f}=\frac{7}{5}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhőviszony jellemzi. Az egyes utakat $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$W$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetében alsó indexben jelöljük.

• a) Az idális gáz belső energiája kifejezhető a hőmérséklettel, amit pedig az állapotegyenlet segítségével tudunk a megadott adatokra visszavezetni:
  $\[\Delta U_1=\frac{f}{2}nR\left(T_2-T_1\right)=\frac{f}{2}p_1\left(V_2-V_1\right)=p_1\frac{V_2-V_1}{\gamma-1}.\]$
• b) Izochor átalakulás során nincs térfogati munka, azaz az I. főtétel $\setbox0\hbox{$\Delta Q_2 = \Delta U_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakot ölti. Mivel a kezdeti hőmérsékletre térünk vissza $\setbox0\hbox{$\Delta Q_2 = \Delta U_2 = -\Delta U_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
• c) Körfolyamat során a rendszer eredeti állapotába kerül vissza, $\setbox0\hbox{$\Delta U = \oint \delta U=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ezért az első főtétel értelmében
  $\[\oint \delta Q = \oint \delta W =\Delta W_1+\Delta W_2+\Delta W_3\]$
  a három szakaszból számolható, minden felvett hő munkavégzésre fordítódik. Az egyes szakaszok:
• $\setbox0\hbox{$\Delta W_1 = p_1\left(V_2-V_1\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, hiszen téglalap területét integráljuk;
• $\setbox0\hbox{$\Delta W_2 = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, hiszen nincs térfogatváltozás;
• $\setbox0\hbox{$\Delta W_3 = \int_3 p \mathrm{d}V = nR T_1 \int_{V_2}^{V_1} \frac{\mathrm{d}V}{V} = p_1 V_1 \ln (\frac{V_1}{V_2})$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Ezzel

$\[\Delta Q = \Delta W = p(V_2-V_1)+p_1V_1\ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right).\]$