Elektrosztatika példák - Elektromos térerősség potenciálból való kiszámolása

Feladat

1. Határozzuk meg az elektromos térerősség vektorát, ha a potenciál:
   a) $\setbox0\hbox{$U=a(x^2+y^2)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   b) $\setbox0\hbox{$U=axy$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   módon függ a koordinátáktól, ahol $\setbox0\hbox{$a=$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$állandó!

Megoldás

Induljunk ki a potenciál definíciójából:

$\[E=-grad(U)=-\dfrac{\partial U}{\partial x}\overline{i}-\dfrac{\partial U}{\partial y}\overline{j}\]$

Ez alapján a térerősség az a) esetben:

$\[\overline{E}=-2ax\overline{i}+2ay\overline{j}\]$

A b) esetben:

$\[\overline{E}=-ay\overline{i}-ax\overline{j}\]$