Termodinamika példák - Ideális gáz állapotváltozása p-V összefüggéssel

Feladat

1. Ideális gáz állapotváltozását a $\setbox0\hbox{$p-V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ síkon a $\setbox0\hbox{$p=f(V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggés írja le.
   • a) Bizonyítsa be, hogy ebben a folyamatban a fajhő térfogatfüggését a
     $\[c(V)=c_V+R\frac{f(V)}{f(V)+V\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}}\]$
     összefüggés adja meg!
   • b) Milyen $\setbox0\hbox{$p_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$V_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékpárnál maximális a gáz hőmérséklete, ha az állapotváltozást a $\setbox0\hbox{$p=a-bV$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyenlet adja meg ($\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ismert pozitív állandók)?

Megoldás

a) Egy tetszőleges folyamat során mérhető fajhő meghatározásához annak a közölt hőmennyiséggel megadott $\setbox0\hbox{$c\,n\,\mathrm{d}T = \delta Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ definíciójából kell kiindulnunk, ami pedig az első főtételből számítható:

$\[ \delta Q = \mathrm{d}U + p\,\mathrm{d}V \]$

$\[ c\,n\,\mathrm{d}T = c_V n\,\mathrm{d}T + p\,\mathrm{d}V \]$

$\[ c = c_V + \frac{1}{n} \,p \left[\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right]_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}. \]$

A nyomás a $\setbox0\hbox{$p=f(V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvénykapcsolattal adott, ezért a fenti, állapotváltozás pályáján vett deriváltat is ezzel kell kifejeznünk. Induljunk ki az ideális gáz állapotegyenletéből ($\setbox0\hbox{$ pV = nRT $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)! Küszöböljük ki a $\setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ változót az állapotváltozásra vonatkozó ismereteink segítségével:

$\[ f(V)V = nRT. \]$

Ebből $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ csak implicit módon fejezhető ki, ezért az eredeti derivált helyett

$\[ \left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}} = \left[\left(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}\right]^{-1}\]$

értéket számítjuk ki. (Fontos megjegyezni, hogy a deriváltak ilyen kapcsolata akkor és csak akkor áll fenn, ha a deriváltak léteznek, és azonos pályára számítjuk őket.)

$\[ T = \frac{f(V)V}{nR} \qquad \Rightarrow \qquad \left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}} = \frac{1}{nR} \left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}V + f \right). \]$

Ezt behelyettesítve a fajhőképletbe

$\[ c = c_V + \frac{f}{n} \frac{nR}{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}V+f} \]$

adódik, amiből már egyenesen következik a feladat állítása.

b) Felhasználjuk a hőmérsékletre az előbb levezetett összefüggést, amibe most beírjuk $\setbox0\hbox{$f(V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ explicit alakját:

$\[ T = \frac{(a-bV)V}{nR}. \]$

Ennek a kifejezésnek $\setbox0\hbox{$V^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ negatív együtthatója miatt maximuma van, ami szélsőértékkereséssel határozható meg:

$\[ 0 = \left.\frac{\partial T}{\partial V}\right|_{V_m} = \left.\frac{a-2bV}{nR}\right|_{V_m} \qquad \Rightarrow \qquad V_m = \frac{a}{2b}. \]$

A maximális hőmérséklethez tartozó nyomás pedig

$\[ p_m = f(V_m) = a-\frac{a}{2} = \frac{a}{2}. \]$