Termodinamika példák - Ideális gáz egy körfolyamata izotermával

Feladat

1. $\setbox0\hbox{$n\,\mathrm{mol}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$p_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomású kétatomos ideális gázt $\setbox0\hbox{$V_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatról állandó nyomáson $\setbox0\hbox{$V_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatúra nyomunk össze (az ábrán 1-es út). Ezen az állandó térfogaton eredeti hőmérsékletére melegítjük (2-es út), majd izotermikusan a kiinduló térfogatára tágítjuk (3-as út).
   
   • a) Mennyivel változott a gáz belső energiája az 1-es úton?
   • b) Mennyivel hőt kellet közölnünk a gázzal a 2-es úton?
   • c) Mekkora a gáz által végzett munka és a gáz által felvett hő a teljes körfolyamatban?

Megoldás

A kétatomos ideális gázt $\setbox0\hbox{$f=5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szabadsági fok és $\setbox0\hbox{$\gamma=\frac{f+2}{f}=\frac{7}{5}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhőviszony jellemzi. Az egyes utakat $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$W$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetében alsó indexben jelöljük.

a) Az ideális gáz belső energiája kifejezhető a hőmérséklettel, amit pedig az állapotegyenlet segítségével tudunk a megadott adatokra visszavezetni:

$\[ \Delta U_1 = \frac{f}{2}nR\left(T_2-T_1\right) = \frac{f}{2} p_1\left(V_2-V_1\right) = p_1\frac{V_2-V_1}{\gamma-1}. \]$

b) Izochor átalakulás során nincs térfogati munka, az első főtétel $\setbox0\hbox{$\Delta Q_2 = \Delta U_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakot ölti. Mivel a kezdeti hőmérsékletre térünk vissza

$\[ \Delta Q_2 = \Delta U_2 = -\Delta U_1. \]$

c) Körfolyamat során a rendszer a kiindulási állapotába tér vissza, $\setbox0\hbox{$\Delta U = \oint \mathrm{d}U = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ezért az első főtétel értelmében

$\[ \oint \delta Q = \oint \delta W = \Delta W_1+\Delta W_2+\Delta W_3 \]$

a három szakaszból számolható, minden felvett hő munkavégzésre fordítódik. Az egyes szakaszok:

• $\setbox0\hbox{$\Delta W_1 = p_1\left(V_2-V_1\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, hiszen az integráljuk értéke a $\setbox0\hbox{$p-V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ diagrambeli téglalap területe;
• $\setbox0\hbox{$\Delta W_2 = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, hiszen nincs térfogatváltozás;
• $\setbox0\hbox{$\Delta W_3 = \int_3 p \,\mathrm{d}V = nR T_1 \int_{V_2}^{V_1} \frac{\mathrm{d}V}{V} = p_1 V_1 \ln (\frac{V_1}{V_2})$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Ezekkel

$\[\Delta Q = \Delta W = p(V_2-V_1)+p_1V_1\ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right).\]$