Termodinamika példák - Dinamikus fűtés hőszivattyúval

Feladat

1. Egy épület fűtésére az ún. dinamikus fűtést használjuk:
   1. A fűtőanyagot elégetjük egy hőerőgép tűzszekrényében, melynek hőmérsékletét állandó $\setbox0\hbox{$T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékleten tartjuk (ez a hőerőgép felső hőtartálya).
   2. A hőerőgép egy hőszivattyút működtet, amelynek alsó hőtartálya egy tó $\setbox0\hbox{$T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű vize, felső hőtartálya pedig a hőerőgépet hűtő $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű víz, amely az épületet egyúttal fűti ($\setbox0\hbox{$T_1>T>T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$).

   A tűzszekrényben $\setbox0\hbox{$q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ égéshőjű anyag ég, a hőerőgép és a hőszivattyú veszteség nélkül, Carnot-hatásfokkal működik. Határozzuk meg, mennyi hőt kap a helyiség egységnyi tömegű fűtőanyag elégetése árán!

Megoldás

A dinamikus fűtési elrendezés

A $\setbox0\hbox{$C_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ körfolyamat által termelt munka

$\[ W = Q_1-|Q_1'|, \]$

a körfolyamat hatásfoka pedig

$\[ \eta_1 = \frac{W}{Q_1} = 1-\frac{|Q_1'|}{Q_1} = 1-\frac{T}{T_1}. \]$

Kifejezve a lakásnak átadott $\setbox0\hbox{$Q_1'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ maradványhőt

$\[ |Q_1'| = Q_1\frac{T}{T_1} \]$

a munka kifejezése egyszerűsödik:

$\[ W = Q_1\left(1-\frac{T}{T_1}\right). \]$

Mivel a felső hőtartályt állandó hőmérsékletűnek tartjuk $\setbox0\hbox{$Q_1=q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

A $\setbox0\hbox{$C_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ körfolyamat hatásfoka

$\[ \eta_2 = \frac{W}{|Q_2'|} = 1-\frac{T_2}{T}, \]$

aminek segítségével a fűtésre juttatott hő kifejezhető:

$\[ |Q_2'| = \frac{W}{1-\frac{T_2}{T}} = Q_1\frac{1-\frac{T}{T_1}}{1-\frac{T_2}{T}}. \]$

A teljes rendszer fűtőteljesítménye

$\[ Q = |Q_1'|+|Q_2'| = Q_1 \left(\frac{T}{T_1}+\frac{1-\frac{T}{T_1}}{1-\frac{T_2}{T}}\right) = Q_1 \left(\frac{\frac{T}{T_1}-\frac{T_2}{T_1}}{1-\frac{T_2}{T}}+\frac{1-\frac{T}{T_1}}{1-\frac{T_2}{T}}\right) = Q_1 \frac{1-\frac{T_2}{T_1}}{1-\frac{T_2}{T}}>q, \]$

hiszen $\setbox0\hbox{$T_1>T>T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.