Elektrosztatika példák - Potenciál számítása a térerősségből

Feladat

1. Határozzuk meg az $\setbox0\hbox{$ E=a ( y\overline{i}+x\overline{j} ) $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elektromos erőtér potenciálját, ha $\setbox0\hbox{$a=$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$állandó, $\setbox0\hbox{$\overline{i}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\overline{j}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengely irányába mutató egységvektorok!

Megoldás

Induljunk ki a potenciál definíciójából:

$\[E=-grad(U)=-\dfrac{\partial U}{\partial x}\overline{i}-\dfrac{\partial U}{\partial y}\overline{j}\]$

Ez alapján a következő két egyenletet írhatjuk fel a téresősség ortogonális komponenseire:

$\[E_x=ay=-\dfrac{\partial U}{\partial x}\]$

$\[E_y=ax=-\dfrac{\partial U}{\partial y}\]$

A fenti összefüggések határozatlan integrálását elvégezve az alábbiakat kapjuk:

$\[U=-\int E_x dx=-axy+C(y)\]$

$\[U=-\int E_y dy=-axy+C(x)\]$

Az integrálok az integrálási változótól független tag erejéig határozatlanok. A fenti két egyenlet csak az alábbi explicit potenciálfüggvénnyel elégíthető ki:

$\[U=-axy+C\]$