Magnetosztatika példák - Toroid tekercs légréses vasmaggal

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú toroid tekercs vasmagján kicsiny $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastagságú légrés található. A tekercs menetszáma $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, benne $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áramerősség folyik. A légrésben $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ indukciójú mágneses tér mérhető. Mekkora a vasmag mágneses permeabilitása?

Megoldás

Ha a légrésben $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékű mágneses indukció mérhető, a vasmagban is ugyanekkora indukciónak kell lenni, hiszen a vasmagból a résbe a határfelületre merőlegesen jutnak át az indukcióvonalak. A mágneses gerjesztés értékei azonban eltérőek lesznek a vasban és a résben:

$\[H_{v}=\dfrac{B}{\mu_0 \mu_{v}} \]$

$\[H_{r}=\dfrac{B}{\mu_0} \]$

Az $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú toroid középvonalára, mint zárt görbére írjuk fel az Amper-féle gerjesztési törvényt.

$\[ NI= \oint \overline{H}d\overline{l}=H_{v}(2\pi r-d)+H_{r}d=\dfrac{B}{\mu_{0}\mu_{v}}(2\pi r-d)+\dfrac{B}{\mu_{0}}d\]$

Az egyenletből kifejezzük a vas relatív mágneses permeabilitását:

$\[ \mu_v=\dfrac{2\pi r-d}{\dfrac{NI\mu_0}{B}-d}\]$