Mechanika - Kétmotoros repülő Dopplere

Feladat

1. (*7.22.) Egy kétmotoros repülőgép közvetlenül egy nyugvó megfigyelő felett repül el. A két állandó, de egymástól kissé eltérő fordulatszámmal járó motor lüktető hangot eredményez, amely közeledő gépnél $\setbox0\hbox{$4\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, távolodónál $\setbox0\hbox{$2\,\rm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-es lebegésnek bizonyul szélcsendes időben. Mekkora a gép sebessége?

Megoldás

Tegyük fel, hogy a két motor fordulatszáma és hangjának frekvenciája $\setbox0\hbox{$f_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$f_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, valamint legyen a hang terjedési sebessége $\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a repülőé $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Közeledéskor a lebegés frekveniája

$\[\Delta f'=(f_1-f_2)\frac c{c-v},\]$

távolodáskor pedig

$\[\Delta f''=(f_1-f_2)\frac c{c+v}.\]$

Mivel maga a két fordulatszám nem ismert, a két lebegési frekvencia hányadosát képezve kiejthetők, ebből

$\[\frac c{c+v}2=\frac c{c-v}\]$

Rendezve

$\[v=\frac c3\]$