„Magnetosztatika példák - Párhuzamos henger alakú vezetőpár öninduktivitása” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
|||
13. sor: | 13. sor: | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
Az egyik hengeres vezetőben folyjon $I$ áram a vezető tengelye mentén, míg a másik hengerben folyjon ugyanakkora, de ellentétes irányú áram. Az önindukció számításához szükség lesz az 1. ábrán besatírozott terület fluxusára. | Az egyik hengeres vezetőben folyjon $I$ áram a vezető tengelye mentén, míg a másik hengerben folyjon ugyanakkora, de ellentétes irányú áram. Az önindukció számításához szükség lesz az 1. ábrán besatírozott terület fluxusára. | ||
− | Egy $I$ áram által átjárt vezeték | + | Egy $I$ áram által átjárt vezeték körül a mágneses indukció nagysága az Amper-féle gerjesztési törvény segítségével könnyen kiszámítható: |
$$B_{(r)}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$$ | $$B_{(r)}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$$ | ||
− | Ennek fluxusa | + | Ennek fluxusa az $l$ hosszúságú, $R$ sugarú hengerek által közrezárt területen: |
$$\phi=\int{}BdA=a\int_{R}^{d-R}B_{r}dr=\dfrac{\mu_0 lI}{2\pi}\int_{R}^{d-R}\dfrac{1}{r}dr=\dfrac{\mu_0 lI}{2\pi} ln \left( \dfrac{d-R}{R} \right)$$ | $$\phi=\int{}BdA=a\int_{R}^{d-R}B_{r}dr=\dfrac{\mu_0 lI}{2\pi}\int_{R}^{d-R}\dfrac{1}{r}dr=\dfrac{\mu_0 lI}{2\pi} ln \left( \dfrac{d-R}{R} \right)$$ |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 15., 15:30-kori változata
Feladat
- Mekkora az öninduktivitása két igen hosszú, párhuzamos, sugarú hengerből álló vezetőpár hosszúságú darabjának, ha a vezetékek távolságra vannak egymástól?
Megoldás
Az egyik hengeres vezetőben folyjon áram a vezető tengelye mentén, míg a másik hengerben folyjon ugyanakkora, de ellentétes irányú áram. Az önindukció számításához szükség lesz az 1. ábrán besatírozott terület fluxusára.
Egy áram által átjárt vezeték körül a mágneses indukció nagysága az Amper-féle gerjesztési törvény segítségével könnyen kiszámítható:
Ennek fluxusa az hosszúságú, sugarú hengerek által közrezárt területen:
Ezzel megkaptuk a két vezeték által határolt térben az egyik vezeték által keltett fluxust. A rendszer szimmetriája miatt a másik vezeték fluxusjáruléka szintén . Könnyen belátható, hogy ezen két fluxusjárulék összeadódik, így az ábrán satírozott terület összes fluxusa:
Tehát a rendszer önindukciója:
Megjegyzés: A fenti eredmény elhanyagolja a vezetékek belsejében mérhető mágneses tér önindukció-járulékát. A Tömör hengeres vezető öninduktivitása feladat megoldása alapján tudjuk, hogy egy hosszúságú, sugarú vezetékdarab belsejébe zárt tér által okozott önindukció:
Ennek felhasználásával a jelenlegi feladat eredményét pontosíthatjuk, ha a kapott eredményhez hozzáadjuk a két vezeték belsejének indukció járulékát.