„Termodinamika példák - Ideális gáz állandó mólhőjű folyamatai” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
10. sor: | 10. sor: | ||
</noinclude><wlatex># Határozzuk meg azon lehetséges folyamatokat megadó összefüggést, amelyek közben az ideális gáz mólhője állandó (az állandó nyomáson és állandó térfogaton mért mólhőket tekintsük ismertnek)! Vezessük le a kapott egyenletből az ismert, állandó mólhőjű speciális folyamatok egyenletét.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az első főtételbe írjuk be az állandónak feltételezett mólhőt, az állapotegyenlet segítségével küszböljük ki az egyenletből a hőmérsékletet, majd oldjuk meg a $p$-re és $V$-re kapott differenciálegyenletet.}}{{Végeredmény|content=$$pV^\frac{C-C_p}{C-C_V}=\text{állandó}.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </noinclude><wlatex># Határozzuk meg azon lehetséges folyamatokat megadó összefüggést, amelyek közben az ideális gáz mólhője állandó (az állandó nyomáson és állandó térfogaton mért mólhőket tekintsük ismertnek)! Vezessük le a kapott egyenletből az ismert, állandó mólhőjű speciális folyamatok egyenletét.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az első főtételbe írjuk be az állandónak feltételezett mólhőt, az állapotegyenlet segítségével küszböljük ki az egyenletből a hőmérsékletet, majd oldjuk meg a $p$-re és $V$-re kapott differenciálegyenletet.}}{{Végeredmény|content=$$pV^\frac{C-C_p}{C-C_V}=\text{állandó}.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>A | + | <wlatex>Az ideális gáz általános fajhőjére az [[Termodinamika példák - Ideális gáz állapotváltozása egyenlettel|előző feladatban]]bizonyítottuk, hogy |
+ | $$C n \mathrm{d}T = C_V n \mathrm{d}T+ | ||
+ | p\left(\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}\mathrm{d}T,$$ | ||
+ | küszöböljük ki $p$-t az állapotegyenlet segítségével ($p=nR\frac{T}{V}$), | ||
+ | $$ \frac{C-C_V}{R} \frac{\mathrm{d}T}{T} = \frac{\mathrm{d}V}{V},$$ | ||
+ | és integráljunk az állapotváltozás vonalán: | ||
+ | $$ \frac{C-C_V}{R} \ln T = \ln V + \ln \mathrm{const.} $$ | ||
+ | |||
+ | Mivel $T=\frac{pV}{nR}$, ez | ||
+ | $$ p = \mathrm{const.} V^{\textstyle \frac{R}{C-C_V}-1} = \mathrm{const.} V^{\textstyle \frac{C_p-C}{C-C_V}} $$ | ||
+ | egyenletre vezet, az állandó fajhőjű folyamatokat állandó nyomáson és térfogaton mért fajhőkkel jellemző összefüggés pedig | ||
+ | $$ pV^{\textstyle \frac{C_p-C}{C_V-C}} = \mathrm{const.}. $$ | ||
+ | |||
+ | == Megjegyzés == | ||
+ | Ugyanerre az eredményre eljuthatunk a [[Termodinamika példák - Ideális gáz állapotváltozása p-V összefüggéssel|következő feladatban]] bizonyítandó | ||
+ | $$ C(V) = C_V + \frac R{1+\frac V p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}} $$ | ||
+ | öszefüggésből indulva is. Feltéve, hogy a fajhő állandó, a kifejezésben szereplő tört nevezője is állandó: | ||
+ | $$ \frac V p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = A.$$ | ||
+ | |||
+ | A változókat szétválasztva és integrálva | ||
+ | $$\frac{\mathrm{d}p} p=A\frac{\mathrm{d}V} V$$ | ||
+ | $$ \ln \frac p{p_0}=A\ln \frac V{V_0} $$ | ||
+ | $$ p= p_0{\left(\frac V{V_0}\right)}^A $$ | ||
+ | |||
+ | A bevezetett állandót kifejezhetjük | ||
+ | $$ C(V) =C_V+\frac{R}{1+A}$$ | ||
+ | egyenletből: | ||
+ | $$A=\frac R{C-C_V}-1=\frac{C_p-C}{C-C_V}, $$ | ||
+ | amivel | ||
+ | $$ p V^{\textstyle \frac{C-C_p}{C-C_V}}=\mathrm{const.}$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. április 7., 23:38-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Termodinamika - Fajhő, Körfolyamatok |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Határozzuk meg azon lehetséges folyamatokat megadó összefüggést, amelyek közben az ideális gáz mólhője állandó (az állandó nyomáson és állandó térfogaton mért mólhőket tekintsük ismertnek)! Vezessük le a kapott egyenletből az ismert, állandó mólhőjű speciális folyamatok egyenletét.
Megoldás
Az ideális gáz általános fajhőjére az előző feladatbanbizonyítottuk, hogy
küszöböljük ki -t az állapotegyenlet segítségével (),
és integráljunk az állapotváltozás vonalán:
Mivel , ez
egyenletre vezet, az állandó fajhőjű folyamatokat állandó nyomáson és térfogaton mért fajhőkkel jellemző összefüggés pedig
Megjegyzés
Ugyanerre az eredményre eljuthatunk a következő feladatban bizonyítandó
öszefüggésből indulva is. Feltéve, hogy a fajhő állandó, a kifejezésben szereplő tört nevezője is állandó:
A változókat szétválasztva és integrálva
A bevezetett állandót kifejezhetjük
egyenletből:
amivel