„Termodinamika példák - Ideális gáz állandó mólhőjű folyamatai” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a (→‎Megoldás)
a (→‎Megoldás)
19. sor: 19. sor:
  
 
Mivel $T=\frac{pV}{nR}$, ez
 
Mivel $T=\frac{pV}{nR}$, ez
−
$$ p = \mathrm{const.} V^{\textstyle \frac{R}{C-C_V}-1} = \mathrm{const.} V^{\textstyle \frac{C_p-C}{C-C_V}} $$
+
$$ p = \mathrm{const.} \cdot V^{\textstyle \frac{R}{C-C_V}-1} = \mathrm{const.} \cdot V^{\textstyle \frac{C_p-C}{C-C_V}} $$
 
egyenletre vezet, az állandó fajhőjű folyamatokat állandó nyomáson és térfogaton mért fajhőkkel jellemző összefüggés pedig
 
egyenletre vezet, az állandó fajhőjű folyamatokat állandó nyomáson és térfogaton mért fajhőkkel jellemző összefüggés pedig
−
$$ pV^{\textstyle \frac{C_p-C}{C_V-C}} = \mathrm{const.}. $$
+
$$ pV^{\textstyle \frac{C_p-C}{C_V-C}} = \mathrm{const.} $$
  
 
== Megjegyzés ==
 
== Megjegyzés ==

A lap 2013. április 7., 23:40-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Termodinamika - Fajhő, Körfolyamatok
Feladatok listája:
  1. Id. g. állapotváltozása egyenlettel
  2. Id. g. állandó mólhőjű folyamatai
  3. Id. g. állapotváltozása p-V összefüggéssel
  4. Id. g. körfolyamatai és
  5. munkája
  6. Id. g. egy körfolyamata izotermával
  7. Carnot-hűtőgép
  8. Id. g. egy körfolyamata adiabatával
  9. Id. g. körfolyamata: izob. és adiab.
  10. Dinamikus fűtés hőszivattyúval
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Határozzuk meg azon lehetséges folyamatokat megadó összefüggést, amelyek közben az ideális gáz mólhője állandó (az állandó nyomáson és állandó térfogaton mért mólhőket tekintsük ismertnek)! Vezessük le a kapott egyenletből az ismert, állandó mólhőjű speciális folyamatok egyenletét.

Megoldás

Az ideális gáz általános fajhőjére az előző feladatban bizonyítottuk, hogy

\[C n \mathrm{d}T = C_V n \mathrm{d}T+ p\left(\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}\mathrm{d}T,\]

küszöböljük ki \setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t az állapotegyenlet segítségével (\setbox0\hbox{$p=nR\frac{T}{V}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%),

\[ \frac{C-C_V}{R} \frac{\mathrm{d}T}{T} = \frac{\mathrm{d}V}{V},\]

és integráljunk az állapotváltozás vonalán:

\[ \frac{C-C_V}{R} \ln T = \ln V + \ln \mathrm{const.} \]

Mivel \setbox0\hbox{$T=\frac{pV}{nR}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ez

\[ p = \mathrm{const.} \cdot V^{\textstyle \frac{R}{C-C_V}-1} = \mathrm{const.} \cdot V^{\textstyle \frac{C_p-C}{C-C_V}} \]

egyenletre vezet, az állandó fajhőjű folyamatokat állandó nyomáson és térfogaton mért fajhőkkel jellemző összefüggés pedig

\[ pV^{\textstyle \frac{C_p-C}{C_V-C}} = \mathrm{const.} \]

Megjegyzés

Ugyanerre az eredményre eljuthatunk a következő feladatban bizonyítandó

\[ C(V) = C_V + \frac R{1+\frac V p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}} \]

öszefüggésből indulva is. Feltéve, hogy a fajhő állandó, a kifejezésben szereplő tört nevezője is állandó:

\[ \frac V p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = A.\]

A változókat szétválasztva és integrálva

\[\frac{\mathrm{d}p} p=A\frac{\mathrm{d}V} V\]
\[ \ln \frac p{p_0}=A\ln \frac V{V_0} \]
\[ p= p_0{\left(\frac V{V_0}\right)}^A \]

A bevezetett állandót kifejezhetjük

\[ C(V) =C_V+\frac{R}{1+A}\]

egyenletből:

\[A=\frac R{C-C_V}-1=\frac{C_p-C}{C-C_V}, \]

amivel

\[ p V^{\textstyle \frac{C-C_p}{C-C_V}}=\mathrm{const.}\]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Ideális_gáz_állandó_mólhőjű_folyamatai&oldid=8468”