„Termodinamika példák - Ideális gáz állandó mólhőjű folyamatai” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (→Megoldás) |
a |
||
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
9. sor: | 9. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex># Határozzuk meg azon lehetséges folyamatokat megadó összefüggést, amelyek közben az ideális gáz mólhője állandó (az állandó nyomáson és állandó térfogaton mért mólhőket tekintsük ismertnek)! Vezessük le a kapott egyenletből az ismert, állandó mólhőjű speciális folyamatok egyenletét.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az első főtételbe írjuk be az állandónak feltételezett mólhőt, az állapotegyenlet segítségével küszböljük ki az egyenletből a hőmérsékletet, majd oldjuk meg a $p$-re és $V$-re kapott differenciálegyenletet.}}{{Végeredmény|content=$$pV^\frac{C-C_p}{C-C_V}=\text{állandó}.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </noinclude><wlatex># Határozzuk meg azon lehetséges folyamatokat megadó összefüggést, amelyek közben az ideális gáz mólhője állandó (az állandó nyomáson és állandó térfogaton mért mólhőket tekintsük ismertnek)! Vezessük le a kapott egyenletből az ismert, állandó mólhőjű speciális folyamatok egyenletét.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az első főtételbe írjuk be az állandónak feltételezett mólhőt, az állapotegyenlet segítségével küszböljük ki az egyenletből a hőmérsékletet, majd oldjuk meg a $p$-re és $V$-re kapott differenciálegyenletet.}}{{Végeredmény|content=$$pV^\frac{C-C_p}{C-C_V}=\text{állandó}.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>Az ideális gáz általános fajhőjére az [[Termodinamika példák - Ideális gáz állapotváltozása egyenlettel|előző feladatban]] bizonyítottuk, hogy | <wlatex>Az ideális gáz általános fajhőjére az [[Termodinamika példák - Ideális gáz állapotváltozása egyenlettel|előző feladatban]] bizonyítottuk, hogy | ||
− | $$C n \mathrm{d}T = C_V n \mathrm{d}T | + | $$ C n \mathrm{d}T = C_V n \,\mathrm{d}T |
− | p\left(\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}\mathrm{d}T,$$ | + | + p \left(\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}\,\mathrm{d}T,$$ |
− | küszöböljük ki | + | küszöböljük ki a nyomást az állapotegyenlet segítségével ($p=nR\frac{T}{V}$), |
$$ \frac{C-C_V}{R} \frac{\mathrm{d}T}{T} = \frac{\mathrm{d}V}{V},$$ | $$ \frac{C-C_V}{R} \frac{\mathrm{d}T}{T} = \frac{\mathrm{d}V}{V},$$ | ||
és integráljunk az állapotváltozás vonalán: | és integráljunk az állapotváltozás vonalán: | ||
19. sor: | 20. sor: | ||
Mivel $T=\frac{pV}{nR}$, ez | Mivel $T=\frac{pV}{nR}$, ez | ||
− | $$ p = \mathrm{const.} V^{\textstyle \frac{R}{C-C_V}-1} = \mathrm{const.} V^{\textstyle \frac{C_p-C}{C-C_V}} $$ | + | $$ p = \mathrm{const.} \cdot V^{\textstyle \frac{R}{C-C_V}-1} = \mathrm{const.} \cdot V^{\textstyle \frac{C_p-C}{C-C_V}} $$ |
− | egyenletre vezet | + | egyenletre vezet. Az állandó fajhőjű folyamatokat állandó nyomáson és térfogaton mért fajhőkkel jellemző összefüggés pedig |
− | $$ pV^{\textstyle \frac{C_p-C}{C_V-C}} = \mathrm{const.} | + | $$ pV^{\textstyle \frac{C_p-C}{C_V-C}} = \mathrm{const.} $$ |
== Megjegyzés == | == Megjegyzés == | ||
27. sor: | 28. sor: | ||
$$ C(V) = C_V + \frac R{1+\frac V p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}} $$ | $$ C(V) = C_V + \frac R{1+\frac V p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}} $$ | ||
öszefüggésből indulva is. Feltéve, hogy a fajhő állandó, a kifejezésben szereplő tört nevezője is állandó: | öszefüggésből indulva is. Feltéve, hogy a fajhő állandó, a kifejezésben szereplő tört nevezője is állandó: | ||
− | $$ \frac V p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = A.$$ | + | $$ \frac V p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = A. $$ |
A változókat szétválasztva és integrálva | A változókat szétválasztva és integrálva | ||
− | $$\frac{\mathrm{d}p} p=A\frac{\mathrm{d}V} V$$ | + | $$ \frac{\mathrm{d}p}{p} = A \frac{\mathrm{d}V}{V} $$ |
− | $$ \ln \frac p{p_0}=A\ln \frac V{V_0} $$ | + | $$ \ln \frac p{p_0} = A \ln \frac V{V_0} $$ |
− | $$ p= p_0{\left(\frac V{V_0}\right)}^A $$ | + | $$ p = p_0{\left(\frac V{V_0}\right)}^A $$ |
− | A bevezetett állandót kifejezhetjük | + | A bevezetett $A$ állandót kifejezhetjük a |
− | $$ C(V) =C_V+\frac{R}{1+A}$$ | + | $$ C(V) = C_V+\frac{R}{1+A} $$ |
− | egyenletből: | + | kiindulási egyenletből: |
$$A=\frac R{C-C_V}-1=\frac{C_p-C}{C-C_V}, $$ | $$A=\frac R{C-C_V}-1=\frac{C_p-C}{C-C_V}, $$ | ||
− | amivel | + | amivel szintén |
− | $$ p V^{\textstyle \frac{C-C_p}{C-C_V}}=\mathrm{const.}$$ | + | $$ p V^{\textstyle \frac{C-C_p}{C-C_V}} = \mathrm{const.} $$ |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. május 2., 15:24-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Termodinamika - Fajhő, Körfolyamatok |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Határozzuk meg azon lehetséges folyamatokat megadó összefüggést, amelyek közben az ideális gáz mólhője állandó (az állandó nyomáson és állandó térfogaton mért mólhőket tekintsük ismertnek)! Vezessük le a kapott egyenletből az ismert, állandó mólhőjű speciális folyamatok egyenletét.
Megoldás
Az ideális gáz általános fajhőjére az előző feladatban bizonyítottuk, hogy
küszöböljük ki a nyomást az állapotegyenlet segítségével (),
és integráljunk az állapotváltozás vonalán:
Mivel , ez
egyenletre vezet. Az állandó fajhőjű folyamatokat állandó nyomáson és térfogaton mért fajhőkkel jellemző összefüggés pedig
Megjegyzés
Ugyanerre az eredményre eljuthatunk a következő feladatban bizonyítandó
öszefüggésből indulva is. Feltéve, hogy a fajhő állandó, a kifejezésben szereplő tört nevezője is állandó:
A változókat szétválasztva és integrálva
A bevezetett állandót kifejezhetjük a
kiindulási egyenletből:
amivel szintén