„Termodinamika példák - Ideális gáz állandó mólhőjű folyamatai” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a (→‎Megoldás)
a
 
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva)
9. sor: 9. sor:
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
 
</noinclude><wlatex># Határozzuk meg azon lehetséges folyamatokat megadó összefüggést, amelyek közben az ideális gáz mólhője állandó (az állandó nyomáson és állandó térfogaton mért mólhőket tekintsük ismertnek)! Vezessük le a kapott egyenletből az ismert, állandó mólhőjű speciális folyamatok egyenletét.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az első főtételbe írjuk be az állandónak feltételezett mólhőt, az állapotegyenlet segítségével küszböljük ki az egyenletből a hőmérsékletet, majd oldjuk meg a $p$-re és $V$-re kapott differenciálegyenletet.}}{{Végeredmény|content=$$pV^\frac{C-C_p}{C-C_V}=\text{állandó}.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
</noinclude><wlatex># Határozzuk meg azon lehetséges folyamatokat megadó összefüggést, amelyek közben az ideális gáz mólhője állandó (az állandó nyomáson és állandó térfogaton mért mólhőket tekintsük ismertnek)! Vezessük le a kapott egyenletből az ismert, állandó mólhőjű speciális folyamatok egyenletét.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az első főtételbe írjuk be az állandónak feltételezett mólhőt, az állapotegyenlet segítségével küszböljük ki az egyenletből a hőmérsékletet, majd oldjuk meg a $p$-re és $V$-re kapott differenciálegyenletet.}}{{Végeredmény|content=$$pV^\frac{C-C_p}{C-C_V}=\text{állandó}.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 +
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
 
<wlatex>Az ideális gáz általános fajhőjére az [[Termodinamika példák - Ideális gáz állapotváltozása egyenlettel|előző feladatban]] bizonyítottuk, hogy
 
<wlatex>Az ideális gáz általános fajhőjére az [[Termodinamika példák - Ideális gáz állapotváltozása egyenlettel|előző feladatban]] bizonyítottuk, hogy
−
$$C n \mathrm{d}T = C_V n \mathrm{d}T+
+
$$ C n \mathrm{d}T = C_V n \,\mathrm{d}T
−
p\left(\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}\mathrm{d}T,$$
+
    + p \left(\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}\,\mathrm{d}T,$$
−
küszöböljük ki $p$-t az állapotegyenlet segítségével ($p=nR\frac{T}{V}$),
+
küszöböljük ki a nyomást az állapotegyenlet segítségével ($p=nR\frac{T}{V}$),
 
$$ \frac{C-C_V}{R} \frac{\mathrm{d}T}{T} = \frac{\mathrm{d}V}{V},$$
 
$$ \frac{C-C_V}{R} \frac{\mathrm{d}T}{T} = \frac{\mathrm{d}V}{V},$$
 
és integráljunk az állapotváltozás vonalán:
 
és integráljunk az állapotváltozás vonalán:
20. sor: 21. sor:
 
Mivel $T=\frac{pV}{nR}$, ez
 
Mivel $T=\frac{pV}{nR}$, ez
 
$$ p = \mathrm{const.} \cdot V^{\textstyle \frac{R}{C-C_V}-1} = \mathrm{const.} \cdot V^{\textstyle \frac{C_p-C}{C-C_V}} $$
 
$$ p = \mathrm{const.} \cdot V^{\textstyle \frac{R}{C-C_V}-1} = \mathrm{const.} \cdot V^{\textstyle \frac{C_p-C}{C-C_V}} $$
−
egyenletre vezet, az állandó fajhőjű folyamatokat állandó nyomáson és térfogaton mért fajhőkkel jellemző összefüggés pedig
+
egyenletre vezet. Az állandó fajhőjű folyamatokat állandó nyomáson és térfogaton mért fajhőkkel jellemző összefüggés pedig
 
$$ pV^{\textstyle \frac{C_p-C}{C_V-C}} = \mathrm{const.} $$
 
$$ pV^{\textstyle \frac{C_p-C}{C_V-C}} = \mathrm{const.} $$
  
27. sor: 28. sor:
 
$$ C(V) = C_V + \frac R{1+\frac V p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}} $$
 
$$ C(V) = C_V + \frac R{1+\frac V p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}} $$
 
öszefüggésből indulva is. Feltéve, hogy a fajhő állandó, a kifejezésben szereplő tört nevezője is állandó:
 
öszefüggésből indulva is. Feltéve, hogy a fajhő állandó, a kifejezésben szereplő tört nevezője is állandó:
−
$$ \frac V p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = A.$$
+
$$ \frac V p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = A. $$
  
 
A változókat szétválasztva és integrálva
 
A változókat szétválasztva és integrálva
−
$$\frac{\mathrm{d}p} p=A\frac{\mathrm{d}V} V$$
+
$$ \frac{\mathrm{d}p}{p} = A \frac{\mathrm{d}V}{V} $$
−
$$ \ln \frac p{p_0}=A\ln \frac V{V_0} $$
+
$$ \ln \frac p{p_0} = A \ln \frac V{V_0} $$
−
$$ p= p_0{\left(\frac V{V_0}\right)}^A $$
+
$$ p = p_0{\left(\frac V{V_0}\right)}^A $$
  
−
A bevezetett állandót kifejezhetjük
+
A bevezetett $A$ állandót kifejezhetjük a
−
$$ C(V) =C_V+\frac{R}{1+A}$$
+
$$ C(V) = C_V+\frac{R}{1+A} $$
−
egyenletből:
+
kiindulási egyenletből:
 
$$A=\frac R{C-C_V}-1=\frac{C_p-C}{C-C_V}, $$
 
$$A=\frac R{C-C_V}-1=\frac{C_p-C}{C-C_V}, $$
−
amivel
+
amivel szintén
−
$$ p V^{\textstyle \frac{C-C_p}{C-C_V}}=\mathrm{const.}$$
+
$$ p V^{\textstyle \frac{C-C_p}{C-C_V}} = \mathrm{const.} $$
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. május 2., 15:24-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Termodinamika - Fajhő, Körfolyamatok
Feladatok listája:
  1. Id. g. állapotváltozása egyenlettel
  2. Id. g. állandó mólhőjű folyamatai
  3. Id. g. állapotváltozása p-V összefüggéssel
  4. Id. g. körfolyamatai és
  5. munkája
  6. Id. g. egy körfolyamata izotermával
  7. Carnot-hűtőgép
  8. Id. g. egy körfolyamata adiabatával
  9. Id. g. körfolyamata: izob. és adiab.
  10. Dinamikus fűtés hőszivattyúval
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Határozzuk meg azon lehetséges folyamatokat megadó összefüggést, amelyek közben az ideális gáz mólhője állandó (az állandó nyomáson és állandó térfogaton mért mólhőket tekintsük ismertnek)! Vezessük le a kapott egyenletből az ismert, állandó mólhőjű speciális folyamatok egyenletét.

Megoldás

Az ideális gáz általános fajhőjére az előző feladatban bizonyítottuk, hogy

\[ C n \mathrm{d}T = C_V n \,\mathrm{d}T + p \left(\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}\,\mathrm{d}T,\]

küszöböljük ki a nyomást az állapotegyenlet segítségével (\setbox0\hbox{$p=nR\frac{T}{V}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%),

\[ \frac{C-C_V}{R} \frac{\mathrm{d}T}{T} = \frac{\mathrm{d}V}{V},\]

és integráljunk az állapotváltozás vonalán:

\[ \frac{C-C_V}{R} \ln T = \ln V + \ln \mathrm{const.} \]

Mivel \setbox0\hbox{$T=\frac{pV}{nR}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ez

\[ p = \mathrm{const.} \cdot V^{\textstyle \frac{R}{C-C_V}-1} = \mathrm{const.} \cdot V^{\textstyle \frac{C_p-C}{C-C_V}} \]

egyenletre vezet. Az állandó fajhőjű folyamatokat állandó nyomáson és térfogaton mért fajhőkkel jellemző összefüggés pedig

\[ pV^{\textstyle \frac{C_p-C}{C_V-C}} = \mathrm{const.} \]

Megjegyzés

Ugyanerre az eredményre eljuthatunk a következő feladatban bizonyítandó

\[ C(V) = C_V + \frac R{1+\frac V p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}} \]

öszefüggésből indulva is. Feltéve, hogy a fajhő állandó, a kifejezésben szereplő tört nevezője is állandó:

\[ \frac V p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = A. \]

A változókat szétválasztva és integrálva

\[ \frac{\mathrm{d}p}{p} = A \frac{\mathrm{d}V}{V} \]
\[ \ln \frac p{p_0} = A \ln \frac V{V_0} \]
\[ p = p_0{\left(\frac V{V_0}\right)}^A \]

A bevezetett \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állandót kifejezhetjük a

\[ C(V) = C_V+\frac{R}{1+A} \]

kiindulási egyenletből:

\[A=\frac R{C-C_V}-1=\frac{C_p-C}{C-C_V}, \]

amivel szintén

\[ p V^{\textstyle \frac{C-C_p}{C-C_V}} = \mathrm{const.} \]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Ideális_gáz_állandó_mólhőjű_folyamatai&oldid=9793”