„Termodinamika példák - Ideális gáz állapotváltozása p-V összefüggéssel” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
a
 
(egy szerkesztő 6 közbeeső változata nincs mutatva)
9. sor: 9. sor:
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
 
</noinclude><wlatex># Ideális gáz állapotváltozását a $p-V$ síkon a $p=f(V)$ összefüggés írja le.</wlatex>
 
</noinclude><wlatex># Ideális gáz állapotváltozását a $p-V$ síkon a $p=f(V)$ összefüggés írja le.</wlatex>
−
#* a) <wlatex>Bizonyítsa be, hogy ebben a folyamatban a fajhő térfogatfüggését a $$C(V)=C_V+R\frac{f(V)}{f(V)+\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}}$$ összefüggés adja meg!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A fejhő definíciós egyenletébe írjuk be a megadott függvényt, használjuk az állapotegyenletet és alkalmazzuk a $$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}=\left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}\right)^{-1}$$ összefüggést!}}</wlatex></includeonly>
+
#* a) <wlatex>Bizonyítsa be, hogy ebben a folyamatban a fajhő térfogatfüggését a $$c(V)=c_V+R\frac{f(V)}{f(V)+V\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}}$$ összefüggés adja meg!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A fejhő definíciós egyenletébe írjuk be a megadott függvényt, használjuk az állapotegyenletet és alkalmazzuk a $$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}=\left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}\right)^{-1}$$ összefüggést!}}</wlatex></includeonly>
 
#* b) <wlatex>Milyen $p_m$, $V_m$ értékpárnál maximális a gáz hőmérséklete, ha az állapotváltozást a $p=a-bV$ egyenlet adja meg ($a$ és $b$ ismert pozitív állandók)?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk ki, hogy a maximális hőmérsékletnek megfelelő izoterma az állapotváltozást leíró görbe érintője, ahol a fajhőnek szingularitása van!}}{{Végeredmény|content=$$V_m=\frac{a}{2b}\qquad\text{és}\qquad p_m=\frac{a}{2}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
#* b) <wlatex>Milyen $p_m$, $V_m$ értékpárnál maximális a gáz hőmérséklete, ha az állapotváltozást a $p=a-bV$ egyenlet adja meg ($a$ és $b$ ismert pozitív állandók)?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk ki, hogy a maximális hőmérsékletnek megfelelő izoterma az állapotváltozást leíró görbe érintője, ahol a fajhőnek szingularitása van!}}{{Végeredmény|content=$$V_m=\frac{a}{2b}\qquad\text{és}\qquad p_m=\frac{a}{2}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 +
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>A megoldás szövege.
+
<wlatex>'''a)''' Egy ''tetszőleges folyamat'' során mérhető fajhő meghatározásához annak a közölt hőmennyiséggel megadott $c\,n\,\mathrm{d}T = \delta Q$ definíciójából kell kiindulnunk, ami pedig az első főtételből számítható:
 +
$$ \delta Q = \mathrm{d}U + p\,\mathrm{d}V $$
 +
$$ c\,n\,\mathrm{d}T = c_V n\,\mathrm{d}T + p\,\mathrm{d}V $$
 +
$$ c = c_V + \frac{1}{n} \,p \left(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}. $$
 +
 
 +
A nyomás a $p=f(V)$ függvénykapcsolattal adott, ezért a fenti, állapotváltozás pályáján vett deriváltat is ezzel kell kifejeznünk. Induljunk ki az ideális gáz állapotegyenletéből ($ pV = nRT $)!
 +
Küszöböljük ki a $p$ változót az állapotváltozásra vonatkozó ismereteink segítségével:
 +
$$ f(V)V = nRT. $$
 +
Ebből $V$ csak implicit módon fejezhető ki, ezért az eredeti derivált helyett
 +
$$ \left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}
 +
    = \left[\left(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}\right]^{-1}$$
 +
értéket számítjuk ki. (Fontos megjegyezni, hogy a deriváltak ilyen kapcsolata akkor és csak akkor áll fenn, ha a deriváltak léteznek, és ''azonos pályára'' számítjuk őket.)
 +
$$ T = \frac{f(V)V}{nR} \qquad \Rightarrow \qquad \left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}
 +
    = \frac{1}{nR} \left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}V + f \right). $$
 +
Ezt behelyettesítve a fajhőképletbe
 +
$$ c = c_V + \frac{f}{n} \frac{nR}{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}V+f} $$
 +
adódik, amiből már egyenesen következik a feladat állítása.
 +
 
 +
'''b)''' Felhasználjuk a hőmérsékletre az előbb levezetett összefüggést, amibe most beírjuk $f(V)$ explicit alakját:
 +
$$ T = \frac{(a-bV)V}{nR}. $$
 +
Ennek a kifejezésnek $V^2$ negatív együtthatója miatt maximuma van, ami szélsőértékkereséssel határozható meg:
 +
$$ 0 = \left.\frac{\partial T}{\partial V}\right|_{V_m} = \left.\frac{a-2bV}{nR}\right|_{V_m} \qquad \Rightarrow \qquad V_m = \frac{a}{2b}. $$
 +
A maximális hőmérséklethez tartozó nyomás pedig
 +
$$ p_m = f(V_m) = a-\frac{a}{2} = \frac{a}{2}. $$
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. május 2., 15:41-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Termodinamika - Fajhő, Körfolyamatok
Feladatok listája:
  1. Id. g. állapotváltozása egyenlettel
  2. Id. g. állandó mólhőjű folyamatai
  3. Id. g. állapotváltozása p-V összefüggéssel
  4. Id. g. körfolyamatai és
  5. munkája
  6. Id. g. egy körfolyamata izotermával
  7. Carnot-hűtőgép
  8. Id. g. egy körfolyamata adiabatával
  9. Id. g. körfolyamata: izob. és adiab.
  10. Dinamikus fűtés hőszivattyúval
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Ideális gáz állapotváltozását a \setbox0\hbox{$p-V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% síkon a \setbox0\hbox{$p=f(V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggés írja le.
    • a) Bizonyítsa be, hogy ebben a folyamatban a fajhő térfogatfüggését a
      \[c(V)=c_V+R\frac{f(V)}{f(V)+V\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}}\]
      összefüggés adja meg!
    • b) Milyen \setbox0\hbox{$p_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$V_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékpárnál maximális a gáz hőmérséklete, ha az állapotváltozást a \setbox0\hbox{$p=a-bV$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyenlet adja meg (\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ismert pozitív állandók)?

Megoldás

a) Egy tetszőleges folyamat során mérhető fajhő meghatározásához annak a közölt hőmennyiséggel megadott \setbox0\hbox{$c\,n\,\mathrm{d}T = \delta Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% definíciójából kell kiindulnunk, ami pedig az első főtételből számítható:

\[ \delta Q = \mathrm{d}U + p\,\mathrm{d}V \]
\[ c\,n\,\mathrm{d}T = c_V n\,\mathrm{d}T + p\,\mathrm{d}V \]
\[ c = c_V + \frac{1}{n} \,p \left(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}. \]

A nyomás a \setbox0\hbox{$p=f(V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvénykapcsolattal adott, ezért a fenti, állapotváltozás pályáján vett deriváltat is ezzel kell kifejeznünk. Induljunk ki az ideális gáz állapotegyenletéből (\setbox0\hbox{$ pV = nRT $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%)! Küszöböljük ki a \setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% változót az állapotváltozásra vonatkozó ismereteink segítségével:

\[ f(V)V = nRT. \]

Ebből \setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% csak implicit módon fejezhető ki, ezért az eredeti derivált helyett

\[ \left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}} = \left[\left(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}\right]^{-1}\]

értéket számítjuk ki. (Fontos megjegyezni, hogy a deriváltak ilyen kapcsolata akkor és csak akkor áll fenn, ha a deriváltak léteznek, és azonos pályára számítjuk őket.)

\[ T = \frac{f(V)V}{nR} \qquad \Rightarrow \qquad \left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}} = \frac{1}{nR} \left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}V + f \right). \]

Ezt behelyettesítve a fajhőképletbe

\[ c = c_V + \frac{f}{n} \frac{nR}{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}V}V+f} \]

adódik, amiből már egyenesen következik a feladat állítása.

b) Felhasználjuk a hőmérsékletre az előbb levezetett összefüggést, amibe most beírjuk \setbox0\hbox{$f(V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% explicit alakját:

\[ T = \frac{(a-bV)V}{nR}. \]

Ennek a kifejezésnek \setbox0\hbox{$V^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% negatív együtthatója miatt maximuma van, ami szélsőértékkereséssel határozható meg:

\[ 0 = \left.\frac{\partial T}{\partial V}\right|_{V_m} = \left.\frac{a-2bV}{nR}\right|_{V_m} \qquad \Rightarrow \qquad V_m = \frac{a}{2b}. \]

A maximális hőmérséklethez tartozó nyomás pedig

\[ p_m = f(V_m) = a-\frac{a}{2} = \frac{a}{2}. \]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Ideális_gáz_állapotváltozása_p-V_összefüggéssel&oldid=9796”