Feladat
- (*6.11.) Mutassuk meg, hogy egy kúpinga periódusideje ugyanakkora, ha egy kis kör mentén mozog, mint ha síkban kis lengéseket végez!
Megoldás
Elegendő megmutatni a körfrekvenciák (négyzetének) azonosságát. Sík lengések esetén a tangenciális mozgásegyenlet
ahol
![\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/5/d/25d9c73500f06d849bf26f5aa435a1e2.png)
az inga hossza. Ebből a szöggyorulásra rendezve lelolvasható a körfrekvencia (négyzete)
A körözés esetén a körmozgás vízszintes síkban zajlik és egyenletes, ezért a mozgásegyenletet vízszintes radiális, és függőleges komponenesekre írjuk fel. (Ebben az esetben nincsenek tangenciális erők és gyorsulás.)
ahol
![\setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/0/4/3/043a9cd50c9aa3c6a83627025e06c95f.png)
a kötélerő, és
![\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/a/4/6/a46fe9e388cefd2073f11ec3a8f1e195.png)
a körpálya sugara. Mivel
![\setbox0\hbox{$r\ll l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/1/c/6/1c6fd11cd7553616d1d9c2e77fa1b92a.png)
, így
![\setbox0\hbox{$\sin{\alpha}=\frac rl\approx\tan{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/c/3/4/c34c9e91751d867066155088caec2003.png)
, másrészt a két fenti egyenletet egymással elosztva
így
![\setbox0\hbox{$\frac{\omega^2}g=\frac1l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/0/9/b09c8655c1c920f019dbf5054d417a39.png)
, ebből pedig
ami egyezik az előző esetben kapott eredménnyel.