Mechanika - Rezgő testre rápottyanó

Feladat

1. (6.5.) Az $\setbox0\hbox{$A_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ amplitúdóval és $\setbox0\hbox{$\omega_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciával vízszintes síkon rezgő $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testre az egyensúlyi helyzeten áthaladva felülről $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű agyagdarab esik, mely rátapad. Mekkora lesz az új rezgésidő és az amplitúdó?

Megoldás

Az ütközés során az impulzus vizszintes komponensének megmaradása:

$\[mv_1=(m+M)v_2,\]$

ahol $\setbox0\hbox{$v_1=\omega_1 A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, hasonlóan az ütközés után $\setbox0\hbox{$v_2=\omega_2 A_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az ismeretlen rugóállandót $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel jelölve a két körfrekvencia $\setbox0\hbox{$\omega_1=\frac{2\pi}{T_1}=\sqrt{\frac Dm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ illetve $\setbox0\hbox{$\omega_2=\frac{2\pi}{T_2}=\sqrt{\frac D{m+M}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ebből

$\[T_2=T_1\sqrt{\frac{m+M}m},\]$

majd az előzőeket felhasználva

$\[A_2=A_1\sqrt{\frac m{m+M}}\]$