Mechanika - Rezgés ferde rugóval

Feladat

1. (*6.14.) Az ábrán látható $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test a vízszintes rúdon súrlódás nélkül mozoghat. A hozzá kapcsolódó rugó másik végpontját a rúdtól $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra rögzítjük. A rugó nyugalmi hossza $\setbox0\hbox{$l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, rugóállandója $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg az egyensúlyi helyzet körüli kis rezgések frekvenciáját különböző $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságok esetén! Vizsgáljuk meg a $\setbox0\hbox{$h\rightarrow 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$h\rightarrow l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határeseteket!
   

Megoldás

A 6.9. feladathoz hasonlóan meg lehet határozni egy effektív rugóállandót. A rugó nyújtatlan állapotában a test legyen $\setbox0\hbox{$x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra a rúd kiszemelt pontjától:

$\[h^2+x_0^2=l_0^2\]$

Ez egyben az egyensúlyi helyzet, tehát itt a rugóerő $\setbox0\hbox{$F_r=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ebből $\setbox0\hbox{$\rm dx\ll x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mértékben kimozdítva a rugó hossza $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re változik, melyre $\setbox0\hbox{$h^2+(x_0+\rm dx)^2=l^2=(l_0+\rm dl)^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Keressük a rugó $\setbox0\hbox{$\rm dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kis hosszváltozását $\setbox0\hbox{$\rm dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ben elsőrendű közelítésben. Az előbbi Pitagorasz-tételben a zárójeleket bontva a másodrendben kicsi tagokat elhagyva kapjuk: $\setbox0\hbox{$2x_0\rm dx=2l_0\rm dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz

$\[\rm dl=\frac{x_0}{l_0}\rm dx=\cos{\alpha}\rm dx,\]$

ahol $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a rugó és a rúd által bezárt szög. Ez utóbbi összefüggést egy megfelelő ábrából is leolvashattuk volna. Ezzel a rugóerő kis kitérésekre közelített alakja

$\[F_r=-D\rm dl=-D\frac{x_0}{l_0}\rm dx,\]$

melynek rúd irányú $\setbox0\hbox{$F_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ komponense az egyedüli erő abban az irányban, tehát a mozgásegyenlet

$\[m\ddot x=F_x=F_r\cos{\alpha}=F_r\frac{x_0}{l_0}=-D\frac{x_0^2}{l_0^2}\rm dx=-D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}\rm dx,\]$

vagyis az effektív rugóállandó

$\[D_{\rm{eff}}=D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}\]$

Ez $\setbox0\hbox{$h=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén visszaadja $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t, $\setbox0\hbox{$h=l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén pedig nulla, azaz nem alakul ki harmonikus rezgés kis kitéréseknél

.