Feladat
- (*6.14.) Az ábrán látható
tömegű test a vízszintes rúdon súrlódás nélkül mozoghat. A hozzá kapcsolódó rugó másik végpontját a rúdtól
távolságra rögzítjük. A rugó nyugalmi hossza
, rugóállandója
. Határozzuk meg az egyensúlyi helyzet körüli kis rezgések frekvenciáját különböző
távolságok esetén! Vizsgáljuk meg a
és
határeseteket!
Megoldás
A 6.9. feladathoz hasonlóan meg lehet határozni egy effektív rugóállandót. A rugó nyújtatlan állapotában a test legyen
![\setbox0\hbox{$x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/6/d/f/6dfe0edcf4a7bd95974249346d1eac60.png)
távolságra a rúd kiszemelt pontjától:
Ez egyben az egyensúlyi helyzet, tehát itt a rugóerő
![\setbox0\hbox{$F_r=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/a/9/4/a948a0ceaaf708532f16a21d5ebba15b.png)
. Ebből
![\setbox0\hbox{$\rm dx\ll x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/a/4/2/a42481dbe6a866501f632cf0308aed34.png)
mértékben kimozdítva a rugó hossza
![\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/5/d/25d9c73500f06d849bf26f5aa435a1e2.png)
-re változik, melyre
![\setbox0\hbox{$h^2+(x_0+\rm dx)^2=l^2=(l_0+\rm dl)^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/8/5/a/85a990956b412a82676404601953f5c8.png)
. Keressük a rugó
![\setbox0\hbox{$\rm dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/2/6/92601e6afa934f0f4ea00be3ae83a04d.png)
kis hosszváltozását
![\setbox0\hbox{$\rm dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/6/8/6/68628524128a841cbb0efec63b086248.png)
-ben elsőrendű közelítésben. Az előbbi Pitagorasz-tételben a zárójeleket bontva a másodrendben kicsi tagokat elhagyva kapjuk:
![\setbox0\hbox{$2x_0\rm dx=2l_0\rm dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/a/0/5/a059c2a95b09551815629655fba38048.png)
, azaz
ahol
![\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/3/f/23f0b749a0ea73b9770fba42c4cb44a7.png)
a rugó és a rúd által bezárt szög. Ez utóbbi összefüggést egy megfelelő ábrából is leolvashattuk volna. Ezzel a rugóerő kis kitérésekre közelített alakja
melynek rúd irányú
![\setbox0\hbox{$F_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/8/e/6/8e6d513ed218e65ea739f95e66d27fb8.png)
komponense az egyedüli erő abban az irányban, tehát a mozgásegyenlet
vagyis az effektív rugóállandó
Ez
![\setbox0\hbox{$h=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/0/0/7/007e23d8682a790a23332afcbe8198a7.png)
esetén visszaadja
![\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/d/3/9/d3941ee0846f5b19cc4d21d1523fdcf0.png)
-t,
![\setbox0\hbox{$h=l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/0/f/b0f87fa3c7dea67230ae7668ba203797.png)
esetén pedig nulla, azaz nem alakul ki harmonikus rezgés kis kitéréseknél
.