Mechanika - Kosárba ejtett test

Feladat

1. (6.6.) Egy $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű kosár $\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ direkciós erejű rugón nyugszik. A kosár felett $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságból $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet ejtünk le, amely rugalmatlanul ütközve a kosárban marad. Milyen amplitúdóval fog rezegni a kosár?

Megoldás

Az ütközés előtt az egyensúlyi helyzet (ahol a gyorsulás nulla) a rugó nyújtatlan hosszától mérve $\setbox0\hbox{$x_1=\frac{Mg}k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, mely az ütközés után $\setbox0\hbox{$x_2=\frac{(M+m)g}k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re módosul, azaz az ütközés utáni pillanatban a kezdeti kitérés

$\[x_2-x_1=\frac{mg}k\]$

. Ismerni kell még az ütközés utáni $\setbox0\hbox{$v_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebeséget is. Ehhez az ejtés közbeni energiamegaradást és a tökéletesen rugalmatlan ütközés impulzusmegmaradását kell felírni:

$\[\frac12mv^2=mgh\]$

$\[mv=(m+M)v_2\]$

Az amplitúdót a rezgési energia mozgási és rugalmas helyzeti energiák összegeként való felírása adja az ütközés utáni pillanatra:

$\[\frac12(m+M)v_2^2+\frac12k(x_2-x_1)^2=\frac12kA^2,\]$

melyet egyszerűsítve és behelyettesítve az amplitúdó négyzete

$\[A^2=\frac{m^2g^2}{k^2}\left(1+\frac{2kh}{g(m+M)}\right).\]$