Mechanika - Lebegés

Feladat

1. (6.24.) Két egyirányú harmonikus rezgés eredője: $\setbox0\hbox{$x(t)=A\cos(2t)\cos(50t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ másodpercekben értendő. Mekkora az összetevő rezgések frekvenciája, és mekkora a lebegés frekvenciája?

Megoldás

Trigonometrikus azonosságot felhasználva a szorzat alak koszinuszok összegévé írható át, melyek frekvenciáját $\setbox0\hbox{$\omega_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-el és $\setbox0\hbox{$\omega_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel jelölve

$\[\frac{\omega_1+\omega_2}2=50\]$

$\[\frac{\omega_1-\omega_2}2=2\]$

Ezt az egyenletrendszert megoldva $\setbox0\hbox{$\omega_1=52\,\frac1{\rm s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\omega_2=48\,\frac1{\rm s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a lebegés körfrekvenciája pedig a kettő különbségéből $\setbox0\hbox{$\omega_l=4\,\frac1{\rm s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz

$\[f_l=0,636\,\rm{Hz}\]$

Érdemes megjegyezni, hogy a $\setbox0\hbox{$w_l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nem az eredeti alakból tévesen következtethető $\setbox0\hbox{$2\,\frac1{\rm s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, hanem ennek kétszerese, mivel a lassabban változó tényező egy szimmetrikus burkolót képez a gyorsan változó köré. Tehát a koszinusz egy periódusa alatt két "púpja" van, vagy más megfogalmazásban ennek a tényezőnek az abszolút értéke számít, aminek viszont fele akkora periódusideje van.