Mechanika - Rugóra akasztott test

Feladat

1. (2.1.24.) $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet $\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rugóállandójú súlytalan rugóra akasztunk. A testet kezdősebesség nélkül elengedjük abban a helyzetben, amelyben a rugó feszültségmentes. Adjuk meg a kitérést az idő függvényében!

Megoldás

A mozgásegyenlet a nyújtatlan rugó esetén fenálló helyzettől mért koordinátában:

$\[m\ddot x=mg-kx\]$

Ebből az egyensúlyi helyzet $\setbox0\hbox{$x_0=\frac{mg}k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mivel a test $\setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ból indul és kezdősebesség nélkül, $\setbox0\hbox{$x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyben az amplitúdó is. A rezgés $\setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$x=2x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határok között megy végbe. A kitérés-idő függvényt $\setbox0\hbox{$x(t)=A\cos{\omega t}+B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakban keresve a megadott feltételekhez illeszkedő megoldás

$\[x(t)=\frac{mg}k(1-\cos(\omega t)),\]$

ahol $\setbox0\hbox{$\omega=\sqrt{\frac km}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$