Mechanika - Rezgés kezdeti feltételekkel

Feladat

1. (2.1.49.) Pontszerűnek tekinthető $\setbox0\hbox{$1\,\rm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testre $\setbox0\hbox{$F=–Dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erő hat. A rugóállandó: $\setbox0\hbox{$D=25\,\rm N/\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ . A $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pillanatban a kitérés $\setbox0\hbox{$+20\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a sebesség $\setbox0\hbox{$2\,\rm{m/s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és a nagysága növekszik.

   a) Mekkora a rezgés frekvenciája?

   b) Mekkora a rezgés amplitúdója?

   c) Írja fel a helyzet-idő függvényt! Mekkora a kezdőfázis?

Megoldás

A rezgés körfrekvenciája $\setbox0\hbox{$\omega=\sqrt{D/m}=\sqrt{25}\,\frac1{\rm s}=5\,\frac1{\rm s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A kezdőpillanatban a rezgés energiája részben mozgási és részben rugalmas helyzeti, kettejük összege viszont a teljes rezgési energia, amiből megkapható az amplitúdó (vagy a sebességmaximum):

$\[\frac12 mv_0^2+\frac12 Dx_0^2=\frac12 DA^2,\]$

melyben $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t helyettesítve, a tömeggel egyszerűsítve és $\setbox0\hbox{$\omega^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-tel leosztva kapjuk:

$\[\frac{v_0^2}{\omega^2}+x_0^2=A^2=0,2\,\rm{m^2}\]$

így $\setbox0\hbox{$A=0,448\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A helyzet-idő függvényt $\setbox0\hbox{$x(t)=\cos(\omega t+\phi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakban keresve $\setbox0\hbox{$x(0)=A\cos{\phi}=x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\dot{x}(0)=-A\omega\sin{\phi}=v_0=-2\,\rm{m/s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyenleteket egymással elosztva

$\[\tan{\phi}=\frac{-v_0}{\omega x_0}=+2,\]$

ebből $\setbox0\hbox{$\phi=+63,4^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$