„Mechanika - Rugókra merőleges rezgés” változatai közötti eltérés
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő:Gombkötő Kategória:Mechanika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév = …”) |
|||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># (*6.9.) Két vízszintes helyzetű $D$ rugóállandójú rugó közé $m$ tömegű anyagi pontot erősítünk, amely vertikálisan kis amplitúdóval rezgéseket végez. A két rugó összhossza nyugalmi állapotban $l_0$, megfeszítve $l$. Határozzuk meg a rezgési frekvenciát, mint $l$ függvényét, ha kis amplitúdójú rezgéseket engedünk csak meg. Vizsgáljuk az $l\rightarrow l_0$ határesetet! | + | </noinclude><wlatex># (*6.9.) Két vízszintes helyzetű $D$ rugóállandójú rugó közé $m$ tömegű anyagi pontot erősítünk, amely vertikálisan kis amplitúdóval rezgéseket végez. A két rugó összhossza nyugalmi állapotban $l_0$, megfeszítve $l$. Határozzuk meg a rezgési frekvenciát, mint $l$ függvényét, ha kis amplitúdójú rezgéseket engedünk csak meg. Vizsgáljuk az $l\rightarrow l_0$ határesetet! [[Kép:Kfgy1-6-9.svg|none|250px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a rugó hosszváltozásás pontosan a Pitagorasz-tétel segítségével, majd közelítsük kis változásokra. Ne felejtsük el a rugóerőt a mozgás irányára vetíteni!}}{{Végeredmény|content=Az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l-l_0}l,$$ ezzel számolható a frekvencia az ismert összefüggéssel.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>A rezgési frekvencia meghatározásához fel kell írni a rugókra merőleges irányú mozgásegyenletet, azaz a visszatérítő erőt az ez irányú kitérés függvényében. Mivel a két rugó azonos hatású, kezelhetjük a feladatot úgy is, hogy csak egy rugót tekintünk, és a testet úgy képzeljük, mintha egy függőleges súrlódásmentes sínen tudna csúszkálni. Az erre az esetre meghatározott effektív rugóállandó kétszerese lesz a valóságos a két rugó esetén. | <wlatex>A rezgési frekvencia meghatározásához fel kell írni a rugókra merőleges irányú mozgásegyenletet, azaz a visszatérítő erőt az ez irányú kitérés függvényében. Mivel a két rugó azonos hatású, kezelhetjük a feladatot úgy is, hogy csak egy rugót tekintünk, és a testet úgy képzeljük, mintha egy függőleges súrlódásmentes sínen tudna csúszkálni. Az erre az esetre meghatározott effektív rugóállandó kétszerese lesz a valóságos a két rugó esetén. | ||
$x=0$ egyensúlyi helyzet esetén a rugó megnyúlása $l-l_0$. Kimozdítva onnan a rugó hossza $l$ helyett már $l_2$, és $$x^2+l^2=l_2^2$$. A rugóerő $F_r=-D(l_2-l_0)$, de ez rugóirányú, ennek csak az $x$ irányú vetülete jelenik meg az $x$ irányú mozgásegyenletben. A sín és a rugó által bezárt szöget $\alpha$-val jelölve $$F_x=F_r\cos{\alpha}=F_r\frac xl_2$$ $l_2$ a fenti Pitagorasz-tételből kifejezhető, azonban a mozgásegyenlet így még túl általános, nem harmonikus rezgést ír le, ehhez ugyanis alkalmazni kell a kis kitérés közelítését is. | $x=0$ egyensúlyi helyzet esetén a rugó megnyúlása $l-l_0$. Kimozdítva onnan a rugó hossza $l$ helyett már $l_2$, és $$x^2+l^2=l_2^2$$. A rugóerő $F_r=-D(l_2-l_0)$, de ez rugóirányú, ennek csak az $x$ irányú vetülete jelenik meg az $x$ irányú mozgásegyenletben. A sín és a rugó által bezárt szöget $\alpha$-val jelölve $$F_x=F_r\cos{\alpha}=F_r\frac xl_2$$ $l_2$ a fenti Pitagorasz-tételből kifejezhető, azonban a mozgásegyenlet így még túl általános, nem harmonikus rezgést ír le, ehhez ugyanis alkalmazni kell a kis kitérés közelítését is. | ||
Erre számos módszer kínálkozik. Az egyik az $l_2(x)$ függvény sorbafejtése, ez $$l_2(x)=\sqrt{x^2+l^2}=l\sqrt{1+\frac{x^2}{l^2}}\approx l\left(1+\frac{x^2}{2l^2}\right)$$ Ennek második tagja $F_x$ kifejezésébe beírva összességében $x$-ben harmadrendű, tehát elhagyható, ami azt is jelenti, hogy $l_2$ elsőrendű közelítésben egyenlő $l$-el, mivel a sorfejtésben nincs $x$-el arányos lineáris tag, csak másodrendű $x^2$-tel arányos. Így a visszatérítő erő végül: $$F_x\approx -D(l-l_0)\frac xl,$$ vagyis az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l-l_0}l$$ | Erre számos módszer kínálkozik. Az egyik az $l_2(x)$ függvény sorbafejtése, ez $$l_2(x)=\sqrt{x^2+l^2}=l\sqrt{1+\frac{x^2}{l^2}}\approx l\left(1+\frac{x^2}{2l^2}\right)$$ Ennek második tagja $F_x$ kifejezésébe beírva összességében $x$-ben harmadrendű, tehát elhagyható, ami azt is jelenti, hogy $l_2$ elsőrendű közelítésben egyenlő $l$-el, mivel a sorfejtésben nincs $x$-el arányos lineáris tag, csak másodrendű $x^2$-tel arányos. Így a visszatérítő erő végül: $$F_x\approx -D(l-l_0)\frac xl,$$ vagyis az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l-l_0}l$$ | ||
− | A másik lehetőség a Pitagorasz-tétel négyzetes alakjának teljes differenciálját képezni, mindkét oldalon a saját $x$ és $l_2$ változó szerint. (Emlékezzünk, hogy $l$ minimális, de előfeszített hossz adott állandó paraméter!) Ebből: $2x\rm dx=2l_2\rm dl_2$ kapható, azaz a rugó kis hosszváltozása $$\rm dl_2=\frac{x}{l_2}\rm dx=\cos{\alpha}\rm dx$$ Ez utóbbi alakot egy megfelelő rajzból is felírhattuk volna, amely a sínen történő kis $\rm dx$ elmozdulást a rugó kis $\rm dl_2$ megnyúlásával veti össze, ez lett volna a harmadik, grafikus módszer. | + | A másik lehetőség a Pitagorasz-tétel négyzetes alakjának teljes differenciálját képezni, mindkét oldalon a saját $x$ és $l_2$ változó szerint. (Emlékezzünk, hogy $l$ minimális, de előfeszített hossz adott állandó paraméter!) Ebből: $2x\rm dx=2l_2\rm dl_2$ kapható, azaz a rugó kis hosszváltozása $$\rm dl_2=\frac{x}{l_2}\rm dx=\cos{\alpha}\rm dx$$ Ez utóbbi alakot egy megfelelő rajzból is felírhattuk volna, amely a sínen történő kis $\rm dx$ elmozdulást a rugó kis $\rm dl_2$ megnyúlásával veti össze, ez lett volna a harmadik, grafikus módszer.[[Kép:Kfgy1-6-9M.svg|none|250px]] . A rugóerő ezt a közelítést felhasználva $$F_r=-D(l_2-l_0)=-D(l+\rm dl_2-l_0)=-D(l-l_0+\cos{\alpha}\rm dx)$$ önmagában még látszólag lineáris $dx$-ben, de $\cos{\alpha}$ szintén kicsi ($<<1$) és a kis kitéréssel arányos, tehát ez a tag másodrendű, így elhagyható. H azonban ezt ebből még nem látnánk, képezzük $F_x$-et: $$F_x=-D(l-l_0)\cos{\alpha}-D\cos^2{\alpha}\rm dx$$ Mivel kis kitérésekre $\alpha\approx 90\circ$, így $\cos{\alpha}\ll 1$ és $\cos^2{\alpha}\ll \cos{\alpha}$, tehát a második tag még akkor is elhagyható, ha $\rm dx$ összemérhető $l-l_0$ előfeszítéssel. |
Összességében tehát azt látjuk, hogy előfeszítés nélkül nem lesz harmonikus rezgés, mivel annak frekvenciájára nulla adódna. (Lásd feszítetlen gitárhúr) Másodsorban a relatív előfeszítés számít, és annak négyzetgyökével arányos a frekvencia. Harmadrészt $l\gg l_0$ esetén (azaz $l\rightarrow\infty$ határesetben) visszakapjuk a rugó $D$ állandóját.</wlatex> | Összességében tehát azt látjuk, hogy előfeszítés nélkül nem lesz harmonikus rezgés, mivel annak frekvenciájára nulla adódna. (Lásd feszítetlen gitárhúr) Másodsorban a relatív előfeszítés számít, és annak négyzetgyökével arányos a frekvencia. Harmadrészt $l\gg l_0$ esetén (azaz $l\rightarrow\infty$ határesetben) visszakapjuk a rugó $D$ állandóját.</wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. június 11., 13:54-kori változata
Feladat
- (*6.9.) Két vízszintes helyzetű
rugóállandójú rugó közé
tömegű anyagi pontot erősítünk, amely vertikálisan kis amplitúdóval rezgéseket végez. A két rugó összhossza nyugalmi állapotban
, megfeszítve
. Határozzuk meg a rezgési frekvenciát, mint
függvényét, ha kis amplitúdójú rezgéseket engedünk csak meg. Vizsgáljuk az
határesetet!
Megoldás
A rezgési frekvencia meghatározásához fel kell írni a rugókra merőleges irányú mozgásegyenletet, azaz a visszatérítő erőt az ez irányú kitérés függvényében. Mivel a két rugó azonos hatású, kezelhetjük a feladatot úgy is, hogy csak egy rugót tekintünk, és a testet úgy képzeljük, mintha egy függőleges súrlódásmentes sínen tudna csúszkálni. Az erre az esetre meghatározott effektív rugóállandó kétszerese lesz a valóságos a két rugó esetén.
![\setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/1/4/3/143702ca3a7ced17cccc8642cc848b63.png)
![\setbox0\hbox{$l-l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/f/4/e/f4e028f8fbdc1f139231015a6faae341.png)
![\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/5/d/25d9c73500f06d849bf26f5aa435a1e2.png)
![\setbox0\hbox{$l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/b/9/9b956dd5c01743de7306632815d781c1.png)
![\[x^2+l^2=l_2^2\]](/images/math/e/5/3/e53c4b6041f9973d792dcfe2b1e96598.png)
![\setbox0\hbox{$F_r=-D(l_2-l_0)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/3/3/3336cafd4fad09a94008642c472378e6.png)
![\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/6/e/b6e0880e09c8a8784e9ed05c9fed29ba.png)
![\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/6/e/b6e0880e09c8a8784e9ed05c9fed29ba.png)
![\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/3/f/23f0b749a0ea73b9770fba42c4cb44a7.png)
![\[F_x=F_r\cos{\alpha}=F_r\frac xl_2\]](/images/math/5/c/0/5c0a79532f16e90060ea3c2a18628f7e.png)
![\setbox0\hbox{$l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/b/9/9b956dd5c01743de7306632815d781c1.png)
![\setbox0\hbox{$l_2(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/1/5/5/1553c893a007f429268dbf73dd5def4a.png)
![\[l_2(x)=\sqrt{x^2+l^2}=l\sqrt{1+\frac{x^2}{l^2}}\approx l\left(1+\frac{x^2}{2l^2}\right)\]](/images/math/b/1/a/b1a5b521c02a5bc904ba3d0e60992dd5.png)
![\setbox0\hbox{$F_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/8/e/6/8e6d513ed218e65ea739f95e66d27fb8.png)
![\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/6/e/b6e0880e09c8a8784e9ed05c9fed29ba.png)
![\setbox0\hbox{$l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/b/9/9b956dd5c01743de7306632815d781c1.png)
![\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/5/d/25d9c73500f06d849bf26f5aa435a1e2.png)
![\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/6/e/b6e0880e09c8a8784e9ed05c9fed29ba.png)
![\setbox0\hbox{$x^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/4/5/e/45e8d993bce4e3883f578dcf581dbf9d.png)
![\[F_x\approx -D(l-l_0)\frac xl,\]](/images/math/b/b/b/bbb98790a83d7996bb53c048209fc493.png)
![\[D_{\rm{eff}}=D\frac{l-l_0}l\]](/images/math/3/f/e/3fe4e29b79562fe1c65dded8196a4d26.png)
![\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/6/e/b6e0880e09c8a8784e9ed05c9fed29ba.png)
![\setbox0\hbox{$l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/b/9/9b956dd5c01743de7306632815d781c1.png)
![\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/5/d/25d9c73500f06d849bf26f5aa435a1e2.png)
![\setbox0\hbox{$2x\rm dx=2l_2\rm dl_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/4/0/7/4078d26c8b439f15f1057efcd1426fa5.png)
![\[\rm dl_2=\frac{x}{l_2}\rm dx=\cos{\alpha}\rm dx\]](/images/math/a/b/8/ab8196f0ac387354865de60523d77685.png)
![\setbox0\hbox{$\rm dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/6/8/6/68628524128a841cbb0efec63b086248.png)
![\setbox0\hbox{$\rm dl_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/d/d/1/dd19fdb316f4eb93958948f3f2ed1bb2.png)
![\[F_r=-D(l_2-l_0)=-D(l+\rm dl_2-l_0)=-D(l-l_0+\cos{\alpha}\rm dx)\]](/images/math/f/b/1/fb10d1c743e47486d9d1d55c823c0c67.png)
![\setbox0\hbox{$dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/6/f/96fc46ef8ef1f873fc52ca915e276cf7.png)
![\setbox0\hbox{$\cos{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/0/f/3/0f3f852a68bda0261757c4ff6cf1d829.png)
![\setbox0\hbox{$<<1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/c/4/1/c416ab0a504bed0639d7b920a949fae6.png)
![\setbox0\hbox{$F_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/8/e/6/8e6d513ed218e65ea739f95e66d27fb8.png)
![\[F_x=-D(l-l_0)\cos{\alpha}-D\cos^2{\alpha}\rm dx\]](/images/math/f/3/d/f3d8dc5afd65d212b3dc3943265e61d7.png)
![\setbox0\hbox{$\alpha\approx 90\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/8/e/28ea84967a34da1c622f0d542b5bffbb.png)
![\setbox0\hbox{$\cos{\alpha}\ll 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/e/6/2/e621cf79469cf9b76a5f95cfc7cb0794.png)
![\setbox0\hbox{$\cos^2{\alpha}\ll \cos{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/c/0/c/c0c4c1d1e8697721dbf4dd333d833706.png)
![\setbox0\hbox{$\rm dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/6/8/6/68628524128a841cbb0efec63b086248.png)
![\setbox0\hbox{$l-l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/f/4/e/f4e028f8fbdc1f139231015a6faae341.png)
Összességében tehát azt látjuk, hogy előfeszítés nélkül nem lesz harmonikus rezgés, mivel annak frekvenciájára nulla adódna. (Lásd feszítetlen gitárhúr) Másodsorban a relatív előfeszítés számít, és annak négyzetgyökével arányos a frekvencia. Harmadrészt esetén (azaz
határesetben) visszakapjuk a rugó
állandóját.