„Mechanika - Rezgés ferde rugóval” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Megoldás) |
(→Feladat) |
||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># (*6.14.) Az ábrán látható $m$ tömegű test a vízszintes rúdon súrlódás nélkül mozoghat. A hozzá kapcsolódó rugó másik végpontját a rúdtól $h$ távolságra rögzítjük. A rugó nyugalmi hossza $l_0$, rugóállandója $D$. Határozzuk meg az egyensúlyi helyzet körüli kis rezgések frekvenciáját különböző $h$ távolságok esetén! Vizsgáljuk meg a $h\rightarrow 0$ és $h\rightarrow l_0$ határeseteket! | + | </noinclude><wlatex># (*6.14.) Az ábrán látható $m$ tömegű test a vízszintes rúdon súrlódás nélkül mozoghat. A hozzá kapcsolódó rugó másik végpontját a rúdtól $h$ távolságra rögzítjük. A rugó nyugalmi hossza $l_0$, rugóállandója $D$. Határozzuk meg az egyensúlyi helyzet körüli kis rezgések frekvenciáját különböző $h$ távolságok esetén! Vizsgáljuk meg a $h\rightarrow 0$ és $h\rightarrow l_0$ határeseteket! [[Kép:Kfgy1_6_14.svg |none|250px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a rugó hosszváltozásás pontosan a Pitagorasz-tétel segítségével, majd közelítsük kis változásokra. Ne felejtsük el a rugóerőt a mozgás irányára vetíteni!}}{{Végeredmény|content=Az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2},$$ ezzel számolható a frekvencia az ismert összefüggéssel.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>A 6.9. feladathoz hasonlóan meg lehet határozni egy effektív rugóállandót. A rugó nyújtatlan állapotában a test legyen $x_0$ távolságra a rúd kiszemelt pontjától: $$h^2+x_0^2=l_0^2$$ Ez egyben az egyensúlyi helyzet, tehát itt a rugóerő $F_r=0$. Ebből $\rm dx\ll x_0$ mértékben kimozdítva a rugó hossza $l$-re változik, melyre $h^2+(x_0+\rm dx)^2=l^2=(l_0+\rm dl)^2$. Keressük a rugó $\rm dl$ kis hosszváltozását $\rm dx$-ben elsőrendű közelítésben. Az előbbi Pitagorasz-tételben a zárójeleket bontva a másodrendben kicsi tagokat elhagyva kapjuk: $2x_0\rm dx=2l_0\rm dl$, azaz $$\rm dl=\frac{x_0}{l_0}\rm dx=\cos{\alpha}\rm dx,$$ ahol $\alpha$ a rugó és a rúd által bezárt szög. Ez utóbbi összefüggést egy megfelelő ábrából is leolvashattuk volna. Ezzel a rugóerő kis kitérésekre közelített alakja $$F_r=-D\rm dl=-D\frac{x_0}{l_0}\rm dx,$$ melynek rúd irányú $F_x$ komponense az egyedüli erő abban az irányban, tehát a mozgásegyenlet $$m\ddot x=F_x=F_r\cos{\alpha}=F_r\frac{x_0}{l_0}=-D\frac{x_0^2}{l_0^2}\rm dx=-D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}\rm dx,$$ vagyis az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}$$ Ez $h=0$ esetén visszaadja $D$-t, $h=l_0$ esetén pedig nulla, azaz nem alakul ki harmonikus rezgés kis kitéréseknél[[Kép:Kfgy1_06_6.14jo.svg|none|250px]].</wlatex> | <wlatex>A 6.9. feladathoz hasonlóan meg lehet határozni egy effektív rugóállandót. A rugó nyújtatlan állapotában a test legyen $x_0$ távolságra a rúd kiszemelt pontjától: $$h^2+x_0^2=l_0^2$$ Ez egyben az egyensúlyi helyzet, tehát itt a rugóerő $F_r=0$. Ebből $\rm dx\ll x_0$ mértékben kimozdítva a rugó hossza $l$-re változik, melyre $h^2+(x_0+\rm dx)^2=l^2=(l_0+\rm dl)^2$. Keressük a rugó $\rm dl$ kis hosszváltozását $\rm dx$-ben elsőrendű közelítésben. Az előbbi Pitagorasz-tételben a zárójeleket bontva a másodrendben kicsi tagokat elhagyva kapjuk: $2x_0\rm dx=2l_0\rm dl$, azaz $$\rm dl=\frac{x_0}{l_0}\rm dx=\cos{\alpha}\rm dx,$$ ahol $\alpha$ a rugó és a rúd által bezárt szög. Ez utóbbi összefüggést egy megfelelő ábrából is leolvashattuk volna. Ezzel a rugóerő kis kitérésekre közelített alakja $$F_r=-D\rm dl=-D\frac{x_0}{l_0}\rm dx,$$ melynek rúd irányú $F_x$ komponense az egyedüli erő abban az irányban, tehát a mozgásegyenlet $$m\ddot x=F_x=F_r\cos{\alpha}=F_r\frac{x_0}{l_0}=-D\frac{x_0^2}{l_0^2}\rm dx=-D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}\rm dx,$$ vagyis az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}$$ Ez $h=0$ esetén visszaadja $D$-t, $h=l_0$ esetén pedig nulla, azaz nem alakul ki harmonikus rezgés kis kitéréseknél[[Kép:Kfgy1_06_6.14jo.svg|none|250px]].</wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2013. június 24., 21:18-kori változata
Feladat
- (*6.14.) Az ábrán látható
tömegű test a vízszintes rúdon súrlódás nélkül mozoghat. A hozzá kapcsolódó rugó másik végpontját a rúdtól 
távolságra rögzítjük. A rugó nyugalmi hossza 
, rugóállandója 
. Határozzuk meg az egyensúlyi helyzet körüli kis rezgések frekvenciáját különböző távolságok esetén! Vizsgáljuk meg a 
és 
határeseteket! 
Megoldás
A 6.9. feladathoz hasonlóan meg lehet határozni egy effektív rugóállandót. A rugó nyújtatlan állapotában a test legyen
távolságra a rúd kiszemelt pontjától: ![\[h^2+x_0^2=l_0^2\]](/images/math/b/f/9/bf908606ba8c222d229332e4a50d7907.png)
. Ebből 
mértékben kimozdítva a rugó hossza 
-re változik, melyre 
. Keressük a rugó 
kis hosszváltozását 
-ben elsőrendű közelítésben. Az előbbi Pitagorasz-tételben a zárójeleket bontva a másodrendben kicsi tagokat elhagyva kapjuk: 
, azaz ![\[\rm dl=\frac{x_0}{l_0}\rm dx=\cos{\alpha}\rm dx,\]](/images/math/0/d/4/0d48222507ebbe823e38759efa119d59.png)
a rugó és a rúd által bezárt szög. Ez utóbbi összefüggést egy megfelelő ábrából is leolvashattuk volna. Ezzel a rugóerő kis kitérésekre közelített alakja ![\[F_r=-D\rm dl=-D\frac{x_0}{l_0}\rm dx,\]](/images/math/1/9/f/19f208780529b81f576a4b7ec158a6fc.png)
komponense az egyedüli erő abban az irányban, tehát a mozgásegyenlet ![\[m\ddot x=F_x=F_r\cos{\alpha}=F_r\frac{x_0}{l_0}=-D\frac{x_0^2}{l_0^2}\rm dx=-D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}\rm dx,\]](/images/math/2/7/b/27bd9acb251899e0da483fe70ad401f9.png)
![\[D_{\rm{eff}}=D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}\]](/images/math/8/4/6/8467532d3b36d59fa08462e3d0a3dfa6.png)
esetén visszaadja -t, 
esetén pedig nulla, azaz nem alakul ki harmonikus rezgés kis kitéréseknél
