„Elektrosztatika példák - Koaxilális hengerfelületek potenciáltere” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Megoldás) |
|||
| (egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex>#Két végtelen hosszú koaxiális | + | </noinclude><wlatex>#Két végtelen hosszú koaxiális fémhengert egynemű töltéssel töltünk fel úgy, hogy a töltéssűrűség a külső hengeren $\omega_{2}$, a belsőn pedig $\omega_{1}$. A hengerek sugara $R_{1}$ és $R_{2}$. Határozzuk meg a hengerek közötti potenciálkülönbséget? |
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel erre a Gauss-tételt a belső hengerre!}}{{Végeredmény|content=$$\Delta U = \int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{\omega_{2}\cdot R_{1}}{\epsilon_{0}\cdot r}\cdot dr =\frac{\omega_{2}\cdot R_{1}}{\epsilon_{0}}\cdot \ln\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right) $$}} | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel erre a Gauss-tételt a belső hengerre!}}{{Végeredmény|content=$$\Delta U = \int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{\omega_{2}\cdot R_{1}}{\epsilon_{0}\cdot r}\cdot dr =\frac{\omega_{2}\cdot R_{1}}{\epsilon_{0}}\cdot \ln\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right) $$}} | ||
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
Vegyünk egy igen hosszú ( $L>>R_{1}$) $r$ sugarú hengert, amely körbe zárja a belső hengert, de sugara kisebb a külső henger sugránál. ($R_{1}<r<R_{2}$) Írjuk fel erre a Gauss-tételt: | Vegyünk egy igen hosszú ( $L>>R_{1}$) $r$ sugarú hengert, amely körbe zárja a belső hengert, de sugara kisebb a külső henger sugránál. ($R_{1}<r<R_{2}$) Írjuk fel erre a Gauss-tételt: | ||
| − | $$ | + | $$E\cdot 2\cdot r\cdot\pi\cdot L = \frac{\omega_{2}}{\epsilon_{0}}\cdot 2\cdot R_{1}\cdot\pi\cdot L$$ |
Amiből: | Amiből: | ||
| − | $$ | + | $$E= \frac{\omega_{2}\cdot R_{1}}{\epsilon_{0}\cdot r}$$ |
A pontenciálkülönbség pedig: | A pontenciálkülönbség pedig: | ||
$$\Delta U = \int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{\omega_{2}\cdot R_{1}}{\epsilon_{0}\cdot r}\cdot dr =\frac{\omega_{2}\cdot R_{1}}{\epsilon_{0}}\cdot \ln\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right) $$ | $$\Delta U = \int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{\omega_{2}\cdot R_{1}}{\epsilon_{0}\cdot r}\cdot dr =\frac{\omega_{2}\cdot R_{1}}{\epsilon_{0}}\cdot \ln\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right) $$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 13., 12:37-kori változata
Feladat
- Két végtelen hosszú koaxiális fémhengert egynemű töltéssel töltünk fel úgy, hogy a töltéssűrűség a külső hengeren
, a belsőn pedig 
. A hengerek sugara 
és 
. Határozzuk meg a hengerek közötti potenciálkülönbséget?
Megoldás
Vegyünk egy igen hosszú ( 
) 
sugarú hengert, amely körbe zárja a belső hengert, de sugara kisebb a külső henger sugránál. (
) Írjuk fel erre a Gauss-tételt:
![\[E\cdot 2\cdot r\cdot\pi\cdot L = \frac{\omega_{2}}{\epsilon_{0}}\cdot 2\cdot R_{1}\cdot\pi\cdot L\]](/images/math/3/7/4/374feffa710889558e0cdf6a44c9c2bc.png)
Amiből:
![\[E= \frac{\omega_{2}\cdot R_{1}}{\epsilon_{0}\cdot r}\]](/images/math/1/8/7/18703f87fde27b4ab178f864396608d6.png)
A pontenciálkülönbség pedig:
![\[\Delta U = \int_{R_{1}}^{R_{2}}\frac{\omega_{2}\cdot R_{1}}{\epsilon_{0}\cdot r}\cdot dr =\frac{\omega_{2}\cdot R_{1}}{\epsilon_{0}}\cdot \ln\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right) \]](/images/math/a/3/2/a32796d7e4e70e997416c251e424b512.png)
