„Elektrosztatika példák - Körvezető tengelye mentén az elektromos tér” változatai közötti eltérés
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
13. sor: | 13. sor: | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | [[Kép:KFGY2-1- | + | [[Kép:KFGY2-1-3uj2.png|none|400px]] |
A gyűrűt elemi részekre osztjuk, és a kérdéses pontban összegezzük a gyűrűelemek térerősség járulékait. A gyűrűt az ábrán látható $\varphi$ szög szerint parametrizáljuk, a kört $d\varphi$ szög alatt látszó ívelemekre bontjuk. Ebben az esetben egy ívelem $dQ$ töltése a következő: | A gyűrűt elemi részekre osztjuk, és a kérdéses pontban összegezzük a gyűrűelemek térerősség járulékait. A gyűrűt az ábrán látható $\varphi$ szög szerint parametrizáljuk, a kört $d\varphi$ szög alatt látszó ívelemekre bontjuk. Ebben az esetben egy ívelem $dQ$ töltése a következő: | ||
26. sor: | 26. sor: | ||
$$dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{dQ}{s^2}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{\dfrac{d\varphi}{2\pi}Q}{r^2+z^2} $$ | $$dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{dQ}{s^2}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{\dfrac{d\varphi}{2\pi}Q}{r^2+z^2} $$ | ||
− | A rendszer hengerszimmetriája miatt a $dE$ térerősség járulékok szimmetriatengelyre merőleges komponensei kioltják egymást, míg a $z$ irányú komponensek összegződnek. A $dE$ térerősség függőleges komponense: | + | A rendszer hengerszimmetriája miatt a $dE$ térerősség járulékok szimmetriatengelyre merőleges komponensei kioltják egymást, míg a $z$ irányú komponensek összegződnek. A $dE$ térerősség függőleges komponense: |
$$dE_{z}=dEcos(\theta)$$ | $$dE_{z}=dEcos(\theta)$$ |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 19., 16:59-kori változata
Feladat
- Egy sugarú vékony körvezető töltése . Határozzuk meg a térerősséget a körvezető tengelyén, a körvezető síkjától távolságban. A tengely mely pontján a legnagyobb a térerősség?
Megoldás
A gyűrűt elemi részekre osztjuk, és a kérdéses pontban összegezzük a gyűrűelemek térerősség járulékait. A gyűrűt az ábrán látható szög szerint parametrizáljuk, a kört szög alatt látszó ívelemekre bontjuk. Ebben az esetben egy ívelem töltése a következő:
Az ívelem és a kérdéses pont távolsága:
A kérdéses pontban Coulomb törvényével meghatározhatjuk az elemi ívdarab térerősség járulékát:
A rendszer hengerszimmetriája miatt a térerősség járulékok szimmetriatengelyre merőleges komponensei kioltják egymást, míg a irányú komponensek összegződnek. A térerősség függőleges komponense:
Ahol a tengely és által bezárt szög:
Összegezzük az elemi ívdarabok irányú térerősség járulékát, és megkapjuk a térerősség értékét a kérdéses pontban:
Ezt követően határozzuk meg a maximális térerősség helyét! A szélsőértéket az alábbi egyenlet megoldásával kereshetjük meg:
Az térerősség szerinti deriváltja:
A megoldandó egyenlet tehát:
A megoldás: