„Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött gömbtérfogat elektromos tere” változatai közötti eltérés
(egy szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
10. sor: | 10. sor: | ||
</noinclude><wlatex>#Egy $R$ sugarú gömbben egyenletes $\rho$ térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg a térerősséget a gömb középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk a Gauss tételt a különböző térrészekre!}} {{Végeredmény|content=A gömbön belül: $$\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}$$ <br> A gömbön kívül pedig: $$\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}$$}} | </noinclude><wlatex>#Egy $R$ sugarú gömbben egyenletes $\rho$ térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg a térerősséget a gömb középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk a Gauss tételt a különböző térrészekre!}} {{Végeredmény|content=A gömbön belül: $$\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}$$ <br> A gömbön kívül pedig: $$\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}$$}} | ||
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | Vegyünk fel egy $r$ sugarú | + | [[Kép:KFGY2-1-9_a.png|none|280px]] |
+ | Vegyünk fel egy $r$ sugarú gömbfelületet, mely koncentrikus a töltött gömbbel, és írjuk fel erre a Gauss-tételt. Ekkor: | ||
$$\iint\vec{E}\cdot\vec{dA} = \frac{1}{\epsilon_{0}}\iiint\rho\cdot dV$$ | $$\iint\vec{E}\cdot\vec{dA} = \frac{1}{\epsilon_{0}}\iiint\rho\cdot dV$$ | ||
− | + | ||
− | $$\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \ | + | Ha a töltött gömb belsejében vizsgáljuk a teret, a Gauss-felület sugara kisebb, mint a gömbé ($R>r$). Ekkor a felület által bezárt töltések mennyisége: |
+ | |||
+ | $$Q=\frac{4}{3} r^{3}\pi\rho$$ | ||
+ | |||
+ | A rendszer gömbszimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a térerősség a Gauss-felület minden pontjában merőleges a felületre, és nagysága a felület minden pontjában állandó. Ezt kihasználva a felületi integrált helyettesíthetjük a a kérdéses $E$ térerősség nagyságának és a teljes $A$ Gauss felületnek szorzatával: | ||
+ | |||
+ | $$\int\int\vec{E}\cdot\vec{dA} =EA$$ | ||
+ | |||
+ | Ennek ismeretében a Gauss törvény: | ||
+ | |||
+ | $$E \cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{1}{\epsilon_{0}}\cdot\frac{4}{3}\cdot r^{3}\cdot\pi\cdot\rho$$ | ||
+ | |||
+ | Melyből a kérdéses térerősséget kifejezve: | ||
+ | |||
$$\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}$$ | $$\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}$$ | ||
− | A gömbön | + | |
− | $$\ | + | [[Kép:KFGY2-1-9_b.png|none|400px]] |
+ | |||
+ | A gömbön kívüli térben ($R<r$) a Gauss-felület a töltött gömb teljes töltésmennyiségét magába zárja: | ||
+ | |||
+ | $$Q=\frac{4}{3}R^3\pi\rho $$ | ||
+ | |||
+ | Ennek ismeretében a Gauss-törvény: | ||
+ | |||
+ | $$E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{1}{\epsilon_{0}}\cdot\frac{4}{3}\cdot R^{3}\cdot\pi\cdot\rho$$ | ||
+ | |||
$$\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}$$ | $$\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}$$ | ||
Ezt ábrázolva: | Ezt ábrázolva: | ||
− | [[Kép:KFGY2-1-9.png| | + | [[Kép:KFGY2-1-9.png|500px]] |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 19., 17:13-kori változata
Feladat
- Egy sugarú gömbben egyenletes térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg a térerősséget a gömb középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!
Megoldás
Vegyünk fel egy sugarú gömbfelületet, mely koncentrikus a töltött gömbbel, és írjuk fel erre a Gauss-tételt. Ekkor:
Ha a töltött gömb belsejében vizsgáljuk a teret, a Gauss-felület sugara kisebb, mint a gömbé (). Ekkor a felület által bezárt töltések mennyisége:
A rendszer gömbszimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a térerősség a Gauss-felület minden pontjában merőleges a felületre, és nagysága a felület minden pontjában állandó. Ezt kihasználva a felületi integrált helyettesíthetjük a a kérdéses térerősség nagyságának és a teljes Gauss felületnek szorzatával:
Ennek ismeretében a Gauss törvény:
Melyből a kérdéses térerősséget kifejezve:
A gömbön kívüli térben () a Gauss-felület a töltött gömb teljes töltésmennyiségét magába zárja:
Ennek ismeretében a Gauss-törvény:
Ezt ábrázolva: