„Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött gömbtérfogat elektromos tere” változatai közötti eltérés
(→Feladat) |
|||
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
13. sor: | 13. sor: | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | Vegyünk fel egy $r$ sugarú | + | [[Kép:KFGY2-1-9_a.png|none|280px]] |
+ | Vegyünk fel egy $r$ sugarú gömbfelületet, mely koncentrikus a töltött gömbbel, és írjuk fel erre a Gauss-tételt. Ekkor: | ||
$$\iint\vec{E}\cdot\vec{dA} = \frac{1}{\epsilon_{0}}\iiint\rho\cdot dV$$ | $$\iint\vec{E}\cdot\vec{dA} = \frac{1}{\epsilon_{0}}\iiint\rho\cdot dV$$ | ||
− | + | ||
− | $$\vec{E}\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \ | + | Ha a töltött gömb belsejében vizsgáljuk a teret, a Gauss-felület sugara kisebb, mint a gömbé ($R>r$). Ekkor a felület által bezárt töltések mennyisége: |
+ | |||
+ | $$Q=\frac{4}{3} r^{3}\pi\rho$$ | ||
+ | |||
+ | A rendszer gömbszimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a térerősség a Gauss-felület minden pontjában merőleges a felületre, és nagysága a felület minden pontjában állandó. Ezt kihasználva a felületi integrált helyettesíthetjük a a kérdéses $E$ térerősség nagyságának és a teljes $A$ Gauss felületnek szorzatával: | ||
+ | |||
+ | $$\int\int\vec{E}\cdot\vec{dA} =EA$$ | ||
+ | |||
+ | Ennek ismeretében a Gauss törvény: | ||
+ | |||
+ | $$E \cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{1}{\epsilon_{0}}\cdot\frac{4}{3}\cdot r^{3}\cdot\pi\cdot\rho$$ | ||
+ | |||
+ | Melyből a kérdéses térerősséget kifejezve: | ||
+ | |||
$$\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}$$ | $$\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}$$ | ||
− | A gömbön | + | |
− | $$\ | + | [[Kép:KFGY2-1-9_b.png|none|400px]] |
+ | |||
+ | A gömbön kívüli térben ($R<r$) a Gauss-felület a töltött gömb teljes töltésmennyiségét magába zárja: | ||
+ | |||
+ | $$Q=\frac{4}{3}R^3\pi\rho $$ | ||
+ | |||
+ | Ennek ismeretében a Gauss-törvény: | ||
+ | |||
+ | $$E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{1}{\epsilon_{0}}\cdot\frac{4}{3}\cdot R^{3}\cdot\pi\cdot\rho$$ | ||
+ | |||
$$\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}$$ | $$\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}$$ | ||
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 19., 17:13-kori változata
Feladat
- Egy
sugarú gömbben egyenletes
térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg a térerősséget a gömb középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!
Megoldás
Vegyünk fel egy sugarú gömbfelületet, mely koncentrikus a töltött gömbbel, és írjuk fel erre a Gauss-tételt. Ekkor:
![\[\iint\vec{E}\cdot\vec{dA} = \frac{1}{\epsilon_{0}}\iiint\rho\cdot dV\]](/images/math/f/6/c/f6c18da3130637dc51790def87c0d576.png)
Ha a töltött gömb belsejében vizsgáljuk a teret, a Gauss-felület sugara kisebb, mint a gömbé (). Ekkor a felület által bezárt töltések mennyisége:
![\[Q=\frac{4}{3} r^{3}\pi\rho\]](/images/math/e/d/9/ed908885b66e7fbc609a6753bf7a4887.png)
A rendszer gömbszimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a térerősség a Gauss-felület minden pontjában merőleges a felületre, és nagysága a felület minden pontjában állandó. Ezt kihasználva a felületi integrált helyettesíthetjük a a kérdéses térerősség nagyságának és a teljes
Gauss felületnek szorzatával:
![\[\int\int\vec{E}\cdot\vec{dA} =EA\]](/images/math/2/a/4/2a44e0ebf3779a1254c3e100017bdba7.png)
Ennek ismeretében a Gauss törvény:
![\[E \cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{1}{\epsilon_{0}}\cdot\frac{4}{3}\cdot r^{3}\cdot\pi\cdot\rho\]](/images/math/4/2/9/429198881a5ff249de3f0e3bec9c0e01.png)
Melyből a kérdéses térerősséget kifejezve:
![\[\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}\]](/images/math/e/3/0/e30aec9803d933b7acabfb8843f72edb.png)
A gömbön kívüli térben () a Gauss-felület a töltött gömb teljes töltésmennyiségét magába zárja:
![\[Q=\frac{4}{3}R^3\pi\rho \]](/images/math/1/e/f/1efb36c66e1039dc4d791fb438da205a.png)
Ennek ismeretében a Gauss-törvény:
![\[E\cdot 4\cdot r^{2}\cdot\pi = \frac{1}{\epsilon_{0}}\cdot\frac{4}{3}\cdot R^{3}\cdot\pi\cdot\rho\]](/images/math/6/8/0/680b0bb3fec39196fa4dc59e6d5d5f41.png)
![\[\vec{E}=\frac{\rho\cdot R^{3}}{\epsilon_{0}\cdot 3\cdot r^{2}}\cdot\vec{e_{r}}\]](/images/math/5/6/e/56e41121a5ed4c2cd4e68dbe29bfdc7a.png)
Ezt ábrázolva: