„Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött gömbtérfogat elektromos tere” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
|||
13. sor: | 13. sor: | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
+ | [[Kép:KFGY2-1-9_a.png|none|280px]] | ||
Vegyünk fel egy $r$ sugarú gömbfelületet, mely koncentrikus a töltött gömbbel, és írjuk fel erre a Gauss-tételt. Ekkor: | Vegyünk fel egy $r$ sugarú gömbfelületet, mely koncentrikus a töltött gömbbel, és írjuk fel erre a Gauss-tételt. Ekkor: | ||
33. sor: | 34. sor: | ||
$$\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}$$ | $$\vec{E}=\frac{\rho\cdot r}{\epsilon_{0}\cdot 3}\cdot\vec{e_{r}}$$ | ||
+ | |||
+ | [[Kép:KFGY2-1-9_b.png|none|400px]] | ||
A gömbön kívüli térben ($R<r$) a Gauss-felület a töltött gömb teljes töltésmennyiségét magába zárja: | A gömbön kívüli térben ($R<r$) a Gauss-felület a töltött gömb teljes töltésmennyiségét magába zárja: |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 19., 17:13-kori változata
Feladat
- Egy sugarú gömbben egyenletes térfogati töltéssűrűség van. Határozzuk meg a térerősséget a gömb középpontjától mért távolság függvényében, a gömbön belül és kívül!
Megoldás
Vegyünk fel egy sugarú gömbfelületet, mely koncentrikus a töltött gömbbel, és írjuk fel erre a Gauss-tételt. Ekkor:
Ha a töltött gömb belsejében vizsgáljuk a teret, a Gauss-felület sugara kisebb, mint a gömbé (). Ekkor a felület által bezárt töltések mennyisége:
A rendszer gömbszimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a térerősség a Gauss-felület minden pontjában merőleges a felületre, és nagysága a felület minden pontjában állandó. Ezt kihasználva a felületi integrált helyettesíthetjük a a kérdéses térerősség nagyságának és a teljes Gauss felületnek szorzatával:
Ennek ismeretében a Gauss törvény:
Melyből a kérdéses térerősséget kifejezve:
A gömbön kívüli térben () a Gauss-felület a töltött gömb teljes töltésmennyiségét magába zárja:
Ennek ismeretében a Gauss-törvény:
Ezt ábrázolva: