„Magnetosztatika példák - Két különböző permeabilitású anyagot tartalmazó koaxiális kábel” változatai közötti eltérés
a (Beleznai átnevezte a(z) Magnetosztatika példák - Koaxiális hengerpár változó permeabilitású anyaggal kitöltve lapot a következő névre: [[Magnetosztatika példák - Két különböző permeabilitású anyagot tartalmazó koaxiális káb…) |
(→Megoldás) |
||
(egy szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Egy $l$ hosszúságú, $r_{1}$ és $r_{2}$ sugarú koaxiális hengerpár közti teret két különböző $\mu_1$ és $\mu_2$ relatív mágneses permeabilitású anyag tölti ki az 1. ábra szerint. A | + | </noinclude><wlatex>#Egy $l$ hosszúságú, $r_{1}$ és $r_{2}$ sugarú koaxiális hengerpár közti teret két különböző $\mu_1$ és $\mu_2$ relatív mágneses permeabilitású anyag tölti ki az 1. ábra szerint. A hengerpaláston ellentétes irányban, a tengellyel párhuzamosan folyik $I$ felületi áram. Az áram a belső henger külső felületén folyik, a külső henger vastagságát pedig elhanyagolhatjuk. Mekkora a rendszer öninduktivitása? <br> [[Kép:KFGY2-8-14uj.png|none|350px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$L= \dfrac{\mu_0 \mu_1 \mu_2}{\pi(\mu_1+\mu_2)} ln \dfrac{r_{2}}{r_{1}}$$ }} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
48. sor: | 49. sor: | ||
Behelyettesítve az $e_1$ és $e_2$ energia sűrűségeket az egyszerűsítés után az alábbi integrált kapjuk: | Behelyettesítve az $e_1$ és $e_2$ energia sűrűségeket az egyszerűsítés után az alábbi integrált kapjuk: | ||
− | $$E_m=\dfrac{\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2}{2\pi(\mu_1+\mu_2)} \int\limits_{r_{1}}^{r_{2}} \dfrac{1}{r} dr $$ | + | $$E_m=\dfrac{l\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2}{2\pi(\mu_1+\mu_2)} \int\limits_{r_{1}}^{r_{2}} \dfrac{1}{r} dr $$ |
A mágneses tér energiája tehát: | A mágneses tér energiája tehát: | ||
− | $$E_m=\dfrac{\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2}{2\pi(\mu_1+\mu_2)} ln \dfrac{r_{2}}{r_{1}}$$ | + | $$E_m=\dfrac{l\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2}{2\pi(\mu_1+\mu_2)} ln \dfrac{r_{2}}{r_{1}}$$ |
Az elrendezés önindukciós együtthatója a tér energiájából az alábbi egyenlet segítségével határozható meg. | Az elrendezés önindukciós együtthatója a tér energiájából az alábbi egyenlet segítségével határozható meg. | ||
− | $$E_{m}= \dfrac{\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2}{2\pi(\mu_1+\mu_2)} ln \dfrac{r_{2}}{r_{1}} =\dfrac{1}{2}LI^2$$ | + | $$E_{m}= \dfrac{l\mu_0 I^2 \mu_1 \mu_2}{2\pi(\mu_1+\mu_2)} ln \dfrac{r_{2}}{r_{1}} =\dfrac{1}{2}LI^2$$ |
Az önindukciós együttható: | Az önindukciós együttható: | ||
− | $$L= \dfrac{\mu_0 \mu_1 \mu_2}{\pi(\mu_1+\mu_2)} ln \dfrac{r_{2}}{r_{1}}$$ | + | $$L= \dfrac{l\mu_0 \mu_1 \mu_2}{\pi(\mu_1+\mu_2)} ln \dfrac{r_{2}}{r_{1}}$$ |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2016. december 8., 15:36-kori változata
Feladat
- Egy hosszúságú, és sugarú koaxiális hengerpár közti teret két különböző és relatív mágneses permeabilitású anyag tölti ki az 1. ábra szerint. A hengerpaláston ellentétes irányban, a tengellyel párhuzamosan folyik felületi áram. Az áram a belső henger külső felületén folyik, a külső henger vastagságát pedig elhanyagolhatjuk. Mekkora a rendszer öninduktivitása?
Megoldás
Áramjárta vezető rendszer öninduktivitása, és az áramok keltette mágneses tér energiája között az alábbi összefüggés írható fel.
Tehát, ha meghatározzuk a tér energiáját, kiszámíthatjuk az öninduktivitást. Ehhez azonban a tér minden pontjában ismernünk kell a mágneses teret. Az Amper-féle gerjesztési törvényt használva megállapíthatjuk, hogy a hengerpalástokon ellentétes irányokban folyó áramok sem a belső henger belsejében, sem pedig a külső hengerpaláston kívül nem indukálhatnak mágneses teret. Mágneses tér csak a két koaxiális vezető felület között található. Vegyük fel az ábrán látható zárt görbét, / sugarú kört/ és alkalmazzuk rá az Amper-féle gerjesztési törvényt.
Ahol és a két közegben mérhető mágneses gerjesztés értéke. Kihasználva azt, hogy a mágneses indukció közeghatárra merőleges komponense folytonosan megy át a közeghatáron, a gerjesztési törvény az alábbiak szerint alakítható.
Ebből kifejezhető a mágneses indukció:
A mágnes indukció ismeretében explicit módon kifejezhetőek a két közegben fellépő mágneses gerjesztés értékei a középvonaltól mért távolság függvényében:
A fentiek ismeretében meghatározható a két térrész mágneses energia sűrűsége a függvényében.
Az energiasűrűséget a két hengerfelület közti térfogatra integrálva meghatározhatjuk a mágneses tér energiáját.
Behelyettesítve az és energia sűrűségeket az egyszerűsítés után az alábbi integrált kapjuk:
A mágneses tér energiája tehát:
Az elrendezés önindukciós együtthatója a tér energiájából az alábbi egyenlet segítségével határozható meg.
Az önindukciós együttható: