„Elektrosztatika példák - Végtelen hosszú egyenes fonálpár elektromos tere” változatai közötti eltérés
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2. Kategória:Szerkesztő:Beleznai Kategória:Elektrosztatika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév …”) |
|||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Egymástól $2d$ távolságban párhuzamosan elhelyezett két igen hosszú fonalat egyenletesen töltünk fel $+\lambda$ és $-\lambda$ lineáris töltéssűrűséggel. Határozzuk meg a térerősséget abban a pontban, mely a két fonalat magában foglaló síktól $z$ távolságban helyezkedik el a rendszer szimmetriasíkjában!{{Útmutatás|content= | + | </noinclude><wlatex>#Egymástól $2d$ távolságban párhuzamosan elhelyezett két igen hosszú fonalat egyenletesen töltünk fel $+\lambda$ és $-\lambda$ lineáris töltéssűrűséggel. Határozzuk meg a térerősséget abban a pontban, mely a két fonalat magában foglaló síktól $z$ távolságban helyezkedik el a rendszer szimmetriasíkjában! |
+ | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= Szuperponáljuk a két vonaltöltés elektromos terét }}{{Végeredmény|content=$$ E_e=\dfrac{\lambda}{\pi\varepsilon_0}\dfrac{d}{(d^2+z^2)}$$}} | ||
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == |
A lap 2013. április 28., 13:45-kori változata
Feladat
- Egymástól távolságban párhuzamosan elhelyezett két igen hosszú fonalat egyenletesen töltünk fel és lineáris töltéssűrűséggel. Határozzuk meg a térerősséget abban a pontban, mely a két fonalat magában foglaló síktól távolságban helyezkedik el a rendszer szimmetriasíkjában!
Megoldás
Először határozzuk meg a töltéssűrűségű fonal terét a fonaltól mért távolságban. (A másik fonaltól egyelőre tekintsünk el) Ehhez felveszünk egy sugarú hengerfelületet, melynek tengelye egybeesik a vonaltöltéssel, magassága . A hengerfelületre felírjuk a Gauss-törvényt:
Ahol a hengerfelület által bezárt töltés mennyisége. A rendszer szimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a térerősség radiális eloszlású, és a tér minden pontjában merőleges a vonaltöltésre. Megállapíthatjuk, hogy a hengerek alapjain a felület normálisa mindenütt -ot zár be a feltételezett térerősséggel. Tehát a skalárszorzat a henger alapjainak minden pontján nullának tekinthető. A henger palástján a térerősség minden pontban párhuzamos a felületnormálissal,így a skalárszorzat megegyezik a vektorok nagyságának szorzatával: A térerősség zárt felületre vett integrálja tehát egyszerűen kifejezhető:
Ahol a henger palástjának területe. A térerősség az egyenletből kifejezhető:
A feladatban két vonaltöltés terét kell meghatározni egy adott pontban. A kérdéses pont a vonaltöltésektől egyaránt távolságban található, ahol:
A töltéssűrűségek abszolút értéke is megegyezik, így az egyes vonaltöltések által az adott pontban keltett elektromos tér és járulékainak abszolút értéke is megegyezik. A járulékok összegzése a szuperpozíció elve alapján történik az 1. ábra szerint. Az eredő tér tehát párhuzamos a két vonaltöltés által kijelölt síkkal, a vonaltöltésekre pedig merőleges. Nagysága a következőképp számítható:
Ahol az és a két vonaltöltés síkja által bezárt szög. Ez alapján felírható, hogy:
A térerősség a kérdéses pontban tehát: