„Elektrosztatika példák - Négyszög sarkaiba helyezett ponttöltések elektromos tere” változatai közötti eltérés
(egy szerkesztő 8 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Egy $a$ oldalú négyzet csúcspontjaiba egyforma $+q$ töltést helyezünk.Mekkora és milyen irányú erő hat egy-egy töltésre? Hova kellene helyezni egy újabb töltést, hogy egyikre se hasson erő? Mekkora nagyságú, és milyen előjelű ez a töltés? | + | </noinclude><wlatex># Egy $a$ oldalú négyzet csúcspontjaiba egyforma $+q$ töltést helyezünk.Mekkora és milyen irányú erő hat egy-egy töltésre? Hova kellene helyezni egy újabb töltést, hogy egyikre se hasson erő? Mekkora nagyságú, és milyen előjelű ez a töltés?[[Kép:KFGY2-1-1uj.png|none|250px]] |
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content= Ha azt szeretnénk, hogy egyik töltésre se hasson erő, akkor a négyzet középpontjába kell egy olyan $q*$ ellentétes előjelű töltést tennünk, ahol $q* = -(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}).$}} | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content= Ha azt szeretnénk, hogy egyik töltésre se hasson erő, akkor a négyzet középpontjába kell egy olyan $q*$ ellentétes előjelű töltést tennünk, ahol $q* = -(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}).$}} | ||
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
− | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | + | Ha a kiszemelt töltésen az ábrán látható módon felveszünk egy koordináta rendszert, akkor annak helyén a többi töltés által keltett térerősség: | |
− | Ha a kiszemelt | + | |
+ | $$\vec{E_{1}} = k \frac{q}{a^2}\vec{e_x}$$ | ||
+ | $$\vec{E_{2}} = k \frac{q}{2a^2} \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\vec{e_x}+\vec{e_y} \right)$$ | ||
+ | $$\vec{E_{3}} = k \frac{q}{a^2}\vec{e_y}$$ | ||
+ | |||
+ | Ahol az egyszerűség kedvéért a Coulomb törvényben szereplő $1/4\pi \varepsilon_0$ konstanst $k$-val jelöltük. A $q_{4}$ töltésre ható elektromos tér a három töltés terének szuperpozíciójaként áll elő. Látható, hogy a négyzet átlójára merőleges erők éppen kiejtik egymást, így a kiszemelt töltésre csak átló irányú tér fog hatni. Ennek nagysága pedig: | ||
+ | |||
+ | $$E = k \frac{q}{a^2} \left(\sqrt{2}+ \frac{1}{2} \right)$$ | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
Amiből a töltésre ható erő: | Amiből a töltésre ható erő: | ||
− | $$\vec{F}=\frac{ | + | |
− | Ha azt szeretnénk, hogy egyik töltésre se hasson erő, akkor pedig a négyzet középpontjába kell egy olyan $q*$ ellentétes előjelű töltést tennünk, amely által keltett erő | + | |
+ | $$\vec{F}=qE \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\vec{e_x}+\vec{e_y} \right)$$ | ||
+ | |||
+ | Ha azt szeretnénk, hogy egyik töltésre se hasson erő, akkor pedig a négyzet középpontjába kell egy olyan $q*$ ellentétes előjelű töltést tennünk, amely által keltett erő megegyező nagyságú és ellentétes irányú a többi töltés által kifejtett erővel. | ||
+ | |||
$$\vec{F*}=\vec{-F_{e}} $$ | $$\vec{F*}=\vec{-F_{e}} $$ | ||
− | $$\frac | + | |
+ | $$ k \frac{q^*}{\left( \frac{\sqrt{2}a}{2} \right)^2} = k \frac{q}{a^2} \left(\sqrt{2}+ \frac{1}{2} \right)$$ | ||
+ | |||
+ | |||
Innen pedig: | Innen pedig: | ||
− | $$q* = -(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}).$$ | + | $$q* = -q(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}).$$ |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 18., 13:34-kori változata
Feladat
- Egy
oldalú négyzet csúcspontjaiba egyforma
töltést helyezünk.Mekkora és milyen irányú erő hat egy-egy töltésre? Hova kellene helyezni egy újabb töltést, hogy egyikre se hasson erő? Mekkora nagyságú, és milyen előjelű ez a töltés?
Megoldás
Ha a kiszemelt töltésen az ábrán látható módon felveszünk egy koordináta rendszert, akkor annak helyén a többi töltés által keltett térerősség:
![\[\vec{E_{1}} = k \frac{q}{a^2}\vec{e_x}\]](/images/math/3/8/7/3873b60025cc73de961807916b677743.png)
![\[\vec{E_{2}} = k \frac{q}{2a^2} \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\vec{e_x}+\vec{e_y} \right)\]](/images/math/4/0/f/40f01347f6bf4955ba4275fa77634529.png)
![\[\vec{E_{3}} = k \frac{q}{a^2}\vec{e_y}\]](/images/math/b/1/6/b162be8fc021a72be1fc3125d2dfc951.png)
Ahol az egyszerűség kedvéért a Coulomb törvényben szereplő konstanst
-val jelöltük. A
töltésre ható elektromos tér a három töltés terének szuperpozíciójaként áll elő. Látható, hogy a négyzet átlójára merőleges erők éppen kiejtik egymást, így a kiszemelt töltésre csak átló irányú tér fog hatni. Ennek nagysága pedig:
![\[E = k \frac{q}{a^2} \left(\sqrt{2}+ \frac{1}{2} \right)\]](/images/math/b/8/f/b8f2d07b540c41a02f981e9e76aaa73a.png)
Amiből a töltésre ható erő:
![\[\vec{F}=qE \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\vec{e_x}+\vec{e_y} \right)\]](/images/math/2/8/a/28a85e2c1aa84895c6d796f29829af19.png)
Ha azt szeretnénk, hogy egyik töltésre se hasson erő, akkor pedig a négyzet középpontjába kell egy olyan ellentétes előjelű töltést tennünk, amely által keltett erő megegyező nagyságú és ellentétes irányú a többi töltés által kifejtett erővel.
![\[\vec{F*}=\vec{-F_{e}} \]](/images/math/8/4/b/84b27c911e8470a954434ae70aa07f3b.png)
![\[ k \frac{q^*}{\left( \frac{\sqrt{2}a}{2} \right)^2} = k \frac{q}{a^2} \left(\sqrt{2}+ \frac{1}{2} \right)\]](/images/math/b/c/d/bcd8b4df4b9bf254a12e4d31f3f818bb.png)
Innen pedig:
![\[q* = -q(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}).\]](/images/math/8/6/f/86fa8b83b440c7b4c1bcb0d5ef06c9db.png)