„Elektrosztatika példák - Négyszög sarkaiba helyezett ponttöltések elektromos tere” változatai közötti eltérés
(egy szerkesztő 5 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Egy $a$ oldalú négyzet csúcspontjaiba egyforma $+q$ töltést helyezünk.Mekkora és milyen irányú erő hat egy-egy töltésre? Hova kellene helyezni egy újabb töltést, hogy egyikre se hasson erő? Mekkora nagyságú, és milyen előjelű ez a töltés? | + | </noinclude><wlatex># Egy $a$ oldalú négyzet csúcspontjaiba egyforma $+q$ töltést helyezünk.Mekkora és milyen irányú erő hat egy-egy töltésre? Hova kellene helyezni egy újabb töltést, hogy egyikre se hasson erő? Mekkora nagyságú, és milyen előjelű ez a töltés?[[Kép:KFGY2-1-1uj.png|none|250px]] |
− | [[Kép: | + | |
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content= Ha azt szeretnénk, hogy egyik töltésre se hasson erő, akkor a négyzet középpontjába kell egy olyan $q*$ ellentétes előjelű töltést tennünk, ahol $q* = -(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}).$}} | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content= Ha azt szeretnénk, hogy egyik töltésre se hasson erő, akkor a négyzet középpontjába kell egy olyan $q*$ ellentétes előjelű töltést tennünk, ahol $q* = -(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}).$}} | ||
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
− | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | Ha a kiszemelt | + | Ha a kiszemelt töltésen az ábrán látható módon felveszünk egy koordináta rendszert, akkor annak helyén a többi töltés által keltett térerősség: |
− | $$\vec{E_{ | + | |
− | $$\vec{E_{ | + | $$\vec{E_{1}} = k \frac{q}{a^2}\vec{e_x}$$ |
− | $$\vec{E_{3}} = \frac | + | $$\vec{E_{2}} = k \frac{q}{2a^2} \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\vec{e_x}+\vec{e_y} \right)$$ |
− | A $q_{4}$ | + | $$\vec{E_{3}} = k \frac{q}{a^2}\vec{e_y}$$ |
− | $$ | + | |
+ | Ahol az egyszerűség kedvéért a Coulomb törvényben szereplő $1/4\pi \varepsilon_0$ konstanst $k$-val jelöltük. A $q_{4}$ töltésre ható elektromos tér a három töltés terének szuperpozíciójaként áll elő. Látható, hogy a négyzet átlójára merőleges erők éppen kiejtik egymást, így a kiszemelt töltésre csak átló irányú tér fog hatni. Ennek nagysága pedig: | ||
+ | |||
+ | $$E = k \frac{q}{a^2} \left(\sqrt{2}+ \frac{1}{2} \right)$$ | ||
+ | |||
Amiből a töltésre ható erő: | Amiből a töltésre ható erő: | ||
− | $$\vec{F}=\frac{ | + | |
− | Ha azt szeretnénk, hogy egyik töltésre se hasson erő, akkor pedig a négyzet középpontjába kell egy olyan $q*$ ellentétes előjelű töltést tennünk, amely által keltett erő | + | |
+ | $$\vec{F}=qE \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\vec{e_x}+\vec{e_y} \right)$$ | ||
+ | |||
+ | Ha azt szeretnénk, hogy egyik töltésre se hasson erő, akkor pedig a négyzet középpontjába kell egy olyan $q*$ ellentétes előjelű töltést tennünk, amely által keltett erő megegyező nagyságú és ellentétes irányú a többi töltés által kifejtett erővel. | ||
+ | |||
$$\vec{F*}=\vec{-F_{e}} $$ | $$\vec{F*}=\vec{-F_{e}} $$ | ||
− | $$\frac | + | |
+ | $$ k \frac{q^*}{\left( \frac{\sqrt{2}a}{2} \right)^2} = k \frac{q}{a^2} \left(\sqrt{2}+ \frac{1}{2} \right)$$ | ||
+ | |||
+ | |||
Innen pedig: | Innen pedig: | ||
− | $$q* = -(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}).$$ | + | $$q* = -q(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}).$$ |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 18., 13:34-kori változata
Feladat
- Egy oldalú négyzet csúcspontjaiba egyforma töltést helyezünk.Mekkora és milyen irányú erő hat egy-egy töltésre? Hova kellene helyezni egy újabb töltést, hogy egyikre se hasson erő? Mekkora nagyságú, és milyen előjelű ez a töltés?
Megoldás
Ha a kiszemelt töltésen az ábrán látható módon felveszünk egy koordináta rendszert, akkor annak helyén a többi töltés által keltett térerősség:
Ahol az egyszerűség kedvéért a Coulomb törvényben szereplő konstanst -val jelöltük. A töltésre ható elektromos tér a három töltés terének szuperpozíciójaként áll elő. Látható, hogy a négyzet átlójára merőleges erők éppen kiejtik egymást, így a kiszemelt töltésre csak átló irányú tér fog hatni. Ennek nagysága pedig:
Amiből a töltésre ható erő:
Ha azt szeretnénk, hogy egyik töltésre se hasson erő, akkor pedig a négyzet középpontjába kell egy olyan ellentétes előjelű töltést tennünk, amely által keltett erő megegyező nagyságú és ellentétes irányú a többi töltés által kifejtett erővel.
Innen pedig: