„Elektrosztatika példák - Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 2.” változatai közötti eltérés
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
13. sor: | 13. sor: | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | [[Kép:KFGY2-1- | + | [[Kép:KFGY2-1-6uj2.png|none|400px]] |
A fonalat vegyük körbe egy $L$ hosszúságú, $r$ sugarú hengerrel, és írjuk fel erre a Gauss-tételt: | A fonalat vegyük körbe egy $L$ hosszúságú, $r$ sugarú hengerrel, és írjuk fel erre a Gauss-tételt: | ||
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 19., 17:10-kori változata
Feladat
- Végtelen hosszú egyenes fonálon a lineáris töltéssűrűség
. Határozzuk meg a térerősséget a fonáltól
távolságra a Gauss-tétel segítségével!
Megoldás
A fonalat vegyük körbe egy hosszúságú,
sugarú hengerrel, és írjuk fel erre a Gauss-tételt:
![\[\iint\vec{E}\cdot\vec{dA} = \frac{1}{\epsilon_{0}}\iiint\rho\cdot dV\]](/images/math/f/6/c/f6c18da3130637dc51790def87c0d576.png)
A rendszer hengerszimmetriája miatt az elektromos tér mindenütt merőleges a vonaltöltésre, továbbá feltételezhetjük, hogy a vonaltöltéstől adott távolságra elhelyezkedő pontokban a térerősség nagysága állandó. A Gauss törvényben szereplő térerősség henger felületre vett integrálja tehát a következőképp egyszerűsíthető:
-A térerősségnek sehol sincs a henger alapjaira merőleges komponense, így a henger alapjaira vett felületi integrál zérus.
-A henger palástján a térerősség mindenütt merőleges a felületre, abból kifelé mutat, így a felületre vett integrálban szereplő skalárszorzat helyettesíthető a vektorok abszolút értékének szorzatával:
![\[\vec{E}\vec{dA}=EdA\]](/images/math/9/0/6/9068c27132bfa18bc3c89777079fb5c4.png)
-Mivel a térerősség nagysága a hengerpaláston mindenütt állandó, az integrálást helyettesíthetjük a teljes felület és a konstans térerősség szorzatával:
![\[ \int \int EdA=EA\]](/images/math/d/d/3/dd3d785f02b090a87a0a972be2f66fb4.png)
Ezek alapján az egyszerűsített Gauss törvény:
![\[ E2r\pi L = \frac{\lambda\cdot L}{\epsilon_{0}}\]](/images/math/8/7/d/87d6ff7d9442e81dbc3cd4ca27e7bd5d.png)
Ahol a felület által bezárt töltés. Kifejezve a térerősséget:
![\[E= \frac{\lambda}{2\cdot r\cdot\epsilon_{0}\cdot\pi}\]](/images/math/4/0/e/40eeb829114d324941d43736be24d8fb.png)
Megjegyzés: Az eredményt érdemes összevetni az előző feladat megoldásával, ahol a Gauss törvény helyett a Coulomb törvényt és a szuperpozíció elvét alkalmazva számoltuk ki a vonaltöltés terét. Láthatjuk, hogy a Gauss törvény alkalmazása jelentősen egyszerűsíti a számolást, ehhez azonban alaposan ki kellett használnunk a rendszer szimmetriáit. Ha a vizsgált töltéselrendezés sérti a fent kihasznált szimmetriákat, a Gauss törvény ilyen formában nem használható. Így például a véges hosszúságú vonaltöltés terének meghatározásakor célravezetőbb az előző példában alkalmazott integrál kiszámítása.