„Elektrosztatika példák - Végtelen hosszú egyenes fonálpár elektromos tere” változatai közötti eltérés
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2. Kategória:Szerkesztő:Beleznai Kategória:Elektrosztatika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév …”) |
(→Megoldás) |
||
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Egymástól $2d$ távolságban párhuzamosan elhelyezett két igen hosszú fonalat egyenletesen töltünk fel $+\lambda$ és $-\lambda$ lineáris töltéssűrűséggel. Határozzuk meg a térerősséget abban a pontban, mely a két fonalat magában foglaló síktól $z$ távolságban helyezkedik el a rendszer szimmetriasíkjában!{{Útmutatás|content= | + | </noinclude><wlatex>#Egymástól $2d$ távolságban párhuzamosan elhelyezett két igen hosszú fonalat egyenletesen töltünk fel $+\lambda$ és $-\lambda$ lineáris töltéssűrűséggel. Határozzuk meg a térerősséget abban a pontban, mely a két fonalat magában foglaló síktól $z$ távolságban helyezkedik el a rendszer szimmetriasíkjában! |
+ | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= Szuperponáljuk a két vonaltöltés elektromos terét }}{{Végeredmény|content=$$ E_e=\dfrac{\lambda}{\pi\varepsilon_0}\dfrac{d}{(d^2+z^2)}$$}} | ||
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
16. sor: | 17. sor: | ||
$$\dfrac{Q}{\varepsilon_0}=\oint \overline{E}\overline{dA} $$ | $$\dfrac{Q}{\varepsilon_0}=\oint \overline{E}\overline{dA} $$ | ||
− | Ahol $Q=l\lambda$ a hengerfelület által bezárt töltés mennyisége. A rendszer szimmetriája miatt | + | Ahol $Q=l\lambda$ a hengerfelület által bezárt töltés mennyisége. A rendszer szimmetriája miatt az elektromos térerősség a tér minden pontjában merőleges a vonaltöltésre, az arra merőleges síkban sugárirányú. Megállapíthatjuk, hogy a hengerek alapjain a felület $\overline{dA}$ normálisa mindenütt $90^o$-ot zár be a $\overline{E}$ térerősséggel. Tehát a $\overline{EdA}$ skalárszorzat a henger alapjainak minden pontján nullának tekinthető. |
A henger palástján a térerősség minden pontban párhuzamos a felületnormálissal,így a skalárszorzat megegyezik a vektorok nagyságának szorzatával: $\overline{EdA}=EdA$ | A henger palástján a térerősség minden pontban párhuzamos a felületnormálissal,így a skalárszorzat megegyezik a vektorok nagyságának szorzatával: $\overline{EdA}=EdA$ | ||
A térerősség zárt felületre vett integrálja tehát egyszerűen kifejezhető: | A térerősség zárt felületre vett integrálja tehát egyszerűen kifejezhető: | ||
30. sor: | 31. sor: | ||
$$r=\sqrt{d^2+z^2}$$ | $$r=\sqrt{d^2+z^2}$$ | ||
− | A töltéssűrűségek abszolút értéke is megegyezik, így az egyes vonaltöltések által az adott pontban keltett elektromos tér $\vert E_1 \vert$ és $\vert E_2 \vert$ | + | A töltéssűrűségek abszolút értéke is megegyezik, így az egyes vonaltöltések által az adott pontban keltett elektromos tér járulékainak $\vert \vec{E_1} \vert$ és $\vert \vec{E_2} \vert$ abszolút értéke is megegyezik. A járulékok összegzése a szuperpozíció elve alapján történik. Az eredő tér tehát párhuzamos a két vonaltöltés által kijelölt síkkal, a vonaltöltésekre pedig merőleges. Nagysága a következőképp számítható: |
$$ E_e=2\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{\sqrt{d^2+z^2}}cos\Theta$$ | $$ E_e=2\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{\sqrt{d^2+z^2}}cos\Theta$$ |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 13., 13:11-kori változata
Feladat
- Egymástól távolságban párhuzamosan elhelyezett két igen hosszú fonalat egyenletesen töltünk fel és lineáris töltéssűrűséggel. Határozzuk meg a térerősséget abban a pontban, mely a két fonalat magában foglaló síktól távolságban helyezkedik el a rendszer szimmetriasíkjában!
Megoldás
Először határozzuk meg a töltéssűrűségű fonal terét a fonaltól mért távolságban. (A másik fonaltól egyelőre tekintsünk el) Ehhez felveszünk egy sugarú hengerfelületet, melynek tengelye egybeesik a vonaltöltéssel, magassága . A hengerfelületre felírjuk a Gauss-törvényt:
Ahol a hengerfelület által bezárt töltés mennyisége. A rendszer szimmetriája miatt az elektromos térerősség a tér minden pontjában merőleges a vonaltöltésre, az arra merőleges síkban sugárirányú. Megállapíthatjuk, hogy a hengerek alapjain a felület normálisa mindenütt -ot zár be a térerősséggel. Tehát a skalárszorzat a henger alapjainak minden pontján nullának tekinthető. A henger palástján a térerősség minden pontban párhuzamos a felületnormálissal,így a skalárszorzat megegyezik a vektorok nagyságának szorzatával: A térerősség zárt felületre vett integrálja tehát egyszerűen kifejezhető:
Ahol a henger palástjának területe. A térerősség az egyenletből kifejezhető:
A feladatban két vonaltöltés terét kell meghatározni egy adott pontban. A kérdéses pont a vonaltöltésektől egyaránt távolságban található, ahol:
A töltéssűrűségek abszolút értéke is megegyezik, így az egyes vonaltöltések által az adott pontban keltett elektromos tér járulékainak és abszolút értéke is megegyezik. A járulékok összegzése a szuperpozíció elve alapján történik. Az eredő tér tehát párhuzamos a két vonaltöltés által kijelölt síkkal, a vonaltöltésekre pedig merőleges. Nagysága a következőképp számítható:
Ahol az és a két vonaltöltés síkja által bezárt szög. Ez alapján felírható, hogy:
A térerősség a kérdéses pontban tehát: