„Mechanika - Rezgés ferde rugóval” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Megoldás) |
(→Feladat) |
||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># (*6.14.) Az ábrán látható $m$ tömegű test a vízszintes rúdon súrlódás nélkül mozoghat. A hozzá kapcsolódó rugó másik végpontját a rúdtól $h$ távolságra rögzítjük. A rugó nyugalmi hossza $l_0$, rugóállandója $D$. Határozzuk meg az egyensúlyi helyzet körüli kis rezgések frekvenciáját különböző $h$ távolságok esetén! Vizsgáljuk meg a $h\rightarrow 0$ és $h\rightarrow l_0$ határeseteket! | + | </noinclude><wlatex># (*6.14.) Az ábrán látható $m$ tömegű test a vízszintes rúdon súrlódás nélkül mozoghat. A hozzá kapcsolódó rugó másik végpontját a rúdtól $h$ távolságra rögzítjük. A rugó nyugalmi hossza $l_0$, rugóállandója $D$. Határozzuk meg az egyensúlyi helyzet körüli kis rezgések frekvenciáját különböző $h$ távolságok esetén! Vizsgáljuk meg a $h\rightarrow 0$ és $h\rightarrow l_0$ határeseteket! [[Kép:Kfgy1_6_14.svg |none|250px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a rugó hosszváltozásás pontosan a Pitagorasz-tétel segítségével, majd közelítsük kis változásokra. Ne felejtsük el a rugóerőt a mozgás irányára vetíteni!}}{{Végeredmény|content=Az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2},$$ ezzel számolható a frekvencia az ismert összefüggéssel.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>A 6.9. feladathoz hasonlóan meg lehet határozni egy effektív rugóállandót. A rugó nyújtatlan állapotában a test legyen $x_0$ távolságra a rúd kiszemelt pontjától: $$h^2+x_0^2=l_0^2$$ Ez egyben az egyensúlyi helyzet, tehát itt a rugóerő $F_r=0$. Ebből $\rm dx\ll x_0$ mértékben kimozdítva a rugó hossza $l$-re változik, melyre $h^2+(x_0+\rm dx)^2=l^2=(l_0+\rm dl)^2$. Keressük a rugó $\rm dl$ kis hosszváltozását $\rm dx$-ben elsőrendű közelítésben. Az előbbi Pitagorasz-tételben a zárójeleket bontva a másodrendben kicsi tagokat elhagyva kapjuk: $2x_0\rm dx=2l_0\rm dl$, azaz $$\rm dl=\frac{x_0}{l_0}\rm dx=\cos{\alpha}\rm dx,$$ ahol $\alpha$ a rugó és a rúd által bezárt szög. Ez utóbbi összefüggést egy megfelelő ábrából is leolvashattuk volna. Ezzel a rugóerő kis kitérésekre közelített alakja $$F_r=-D\rm dl=-D\frac{x_0}{l_0}\rm dx,$$ melynek rúd irányú $F_x$ komponense az egyedüli erő abban az irányban, tehát a mozgásegyenlet $$m\ddot x=F_x=F_r\cos{\alpha}=F_r\frac{x_0}{l_0}=-D\frac{x_0^2}{l_0^2}\rm dx=-D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}\rm dx,$$ vagyis az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}$$ Ez $h=0$ esetén visszaadja $D$-t, $h=l_0$ esetén pedig nulla, azaz nem alakul ki harmonikus rezgés kis kitéréseknél[[Kép:Kfgy1_06_6.14jo.svg|none|250px]].</wlatex> | <wlatex>A 6.9. feladathoz hasonlóan meg lehet határozni egy effektív rugóállandót. A rugó nyújtatlan állapotában a test legyen $x_0$ távolságra a rúd kiszemelt pontjától: $$h^2+x_0^2=l_0^2$$ Ez egyben az egyensúlyi helyzet, tehát itt a rugóerő $F_r=0$. Ebből $\rm dx\ll x_0$ mértékben kimozdítva a rugó hossza $l$-re változik, melyre $h^2+(x_0+\rm dx)^2=l^2=(l_0+\rm dl)^2$. Keressük a rugó $\rm dl$ kis hosszváltozását $\rm dx$-ben elsőrendű közelítésben. Az előbbi Pitagorasz-tételben a zárójeleket bontva a másodrendben kicsi tagokat elhagyva kapjuk: $2x_0\rm dx=2l_0\rm dl$, azaz $$\rm dl=\frac{x_0}{l_0}\rm dx=\cos{\alpha}\rm dx,$$ ahol $\alpha$ a rugó és a rúd által bezárt szög. Ez utóbbi összefüggést egy megfelelő ábrából is leolvashattuk volna. Ezzel a rugóerő kis kitérésekre közelített alakja $$F_r=-D\rm dl=-D\frac{x_0}{l_0}\rm dx,$$ melynek rúd irányú $F_x$ komponense az egyedüli erő abban az irányban, tehát a mozgásegyenlet $$m\ddot x=F_x=F_r\cos{\alpha}=F_r\frac{x_0}{l_0}=-D\frac{x_0^2}{l_0^2}\rm dx=-D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}\rm dx,$$ vagyis az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}$$ Ez $h=0$ esetén visszaadja $D$-t, $h=l_0$ esetén pedig nulla, azaz nem alakul ki harmonikus rezgés kis kitéréseknél[[Kép:Kfgy1_06_6.14jo.svg|none|250px]].</wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2013. június 24., 22:18-kori változata
Feladat
- (*6.14.) Az ábrán látható
tömegű test a vízszintes rúdon súrlódás nélkül mozoghat. A hozzá kapcsolódó rugó másik végpontját a rúdtól
távolságra rögzítjük. A rugó nyugalmi hossza
, rugóállandója
. Határozzuk meg az egyensúlyi helyzet körüli kis rezgések frekvenciáját különböző
távolságok esetén! Vizsgáljuk meg a
és
határeseteket!
Megoldás
A 6.9. feladathoz hasonlóan meg lehet határozni egy effektív rugóállandót. A rugó nyújtatlan állapotában a test legyen![\setbox0\hbox{$x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/6/d/f/6dfe0edcf4a7bd95974249346d1eac60.png)
![\[h^2+x_0^2=l_0^2\]](/images/math/b/f/9/bf908606ba8c222d229332e4a50d7907.png)
![\setbox0\hbox{$F_r=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/a/9/4/a948a0ceaaf708532f16a21d5ebba15b.png)
![\setbox0\hbox{$\rm dx\ll x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/a/4/2/a42481dbe6a866501f632cf0308aed34.png)
![\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/5/d/25d9c73500f06d849bf26f5aa435a1e2.png)
![\setbox0\hbox{$h^2+(x_0+\rm dx)^2=l^2=(l_0+\rm dl)^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/8/5/a/85a990956b412a82676404601953f5c8.png)
![\setbox0\hbox{$\rm dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/2/6/92601e6afa934f0f4ea00be3ae83a04d.png)
![\setbox0\hbox{$\rm dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/6/8/6/68628524128a841cbb0efec63b086248.png)
![\setbox0\hbox{$2x_0\rm dx=2l_0\rm dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/a/0/5/a059c2a95b09551815629655fba38048.png)
![\[\rm dl=\frac{x_0}{l_0}\rm dx=\cos{\alpha}\rm dx,\]](/images/math/0/d/4/0d48222507ebbe823e38759efa119d59.png)
![\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/3/f/23f0b749a0ea73b9770fba42c4cb44a7.png)
![\[F_r=-D\rm dl=-D\frac{x_0}{l_0}\rm dx,\]](/images/math/1/9/f/19f208780529b81f576a4b7ec158a6fc.png)
![\setbox0\hbox{$F_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/8/e/6/8e6d513ed218e65ea739f95e66d27fb8.png)
![\[m\ddot x=F_x=F_r\cos{\alpha}=F_r\frac{x_0}{l_0}=-D\frac{x_0^2}{l_0^2}\rm dx=-D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}\rm dx,\]](/images/math/2/7/b/27bd9acb251899e0da483fe70ad401f9.png)
![\[D_{\rm{eff}}=D\frac{l_0^2-h^2}{l_0^2}\]](/images/math/8/4/6/8467532d3b36d59fa08462e3d0a3dfa6.png)
![\setbox0\hbox{$h=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/0/0/7/007e23d8682a790a23332afcbe8198a7.png)
![\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/d/3/9/d3941ee0846f5b19cc4d21d1523fdcf0.png)
![\setbox0\hbox{$h=l_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/0/f/b0f87fa3c7dea67230ae7668ba203797.png)