„Mechanika - Rugókra merőleges rezgés” változatai közötti eltérés

A lap 2012. december 2., 14:17-kori változata (lapforrás) Gombkoto (vitalap | szerkesztései) (Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő:Gombkötő Kategória:Mechanika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév = …”)		A lap 2013. június 11., 12:54-kori változata (lapforrás) Gombkoto (vitalap | szerkesztései) Újabb szerkesztés →
8. sor:		8. sor:
	}}		}}
	== Feladat ==		== Feladat ==
−	</noinclude><wlatex># (*6.9.) Két vízszintes helyzetű $D$ rugóállandójú rugó közé $m$ tömegű anyagi pontot erősítünk, amely vertikálisan kis amplitúdóval rezgéseket végez. A két rugó összhossza nyugalmi állapotban $l_0$, megfeszítve $l$. Határozzuk meg a rezgési frekvenciát, mint $l$ függvényét, ha kis amplitúdójú rezgéseket engedünk csak meg. Vizsgáljuk az $l\rightarrow l_0$ határesetet! ÁBRA</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a rugó hosszváltozásás pontosan a Pitagorasz-tétel segítségével, majd közelítsük kis változásokra. Ne felejtsük el a rugóerőt a mozgás irányára vetíteni!}}{{Végeredmény|content=Az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l-l_0}l,$$ ezzel számolható a frekvencia az ismert összefüggéssel.}}</wlatex></includeonly><noinclude>	+	</noinclude><wlatex># (*6.9.) Két vízszintes helyzetű $D$ rugóállandójú rugó közé $m$ tömegű anyagi pontot erősítünk, amely vertikálisan kis amplitúdóval rezgéseket végez. A két rugó összhossza nyugalmi állapotban $l_0$, megfeszítve $l$. Határozzuk meg a rezgési frekvenciát, mint $l$ függvényét, ha kis amplitúdójú rezgéseket engedünk csak meg. Vizsgáljuk az $l\rightarrow l_0$ határesetet! [[Kép:Kfgy1-6-9.svg|none|250px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a rugó hosszváltozásás pontosan a Pitagorasz-tétel segítségével, majd közelítsük kis változásokra. Ne felejtsük el a rugóerőt a mozgás irányára vetíteni!}}{{Végeredmény|content=Az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l-l_0}l,$$ ezzel számolható a frekvencia az ismert összefüggéssel.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
	== Megoldás ==		== Megoldás ==
	<wlatex>A rezgési frekvencia meghatározásához fel kell írni a rugókra merőleges irányú mozgásegyenletet, azaz a visszatérítő erőt az ez irányú kitérés függvényében. Mivel a két rugó azonos hatású, kezelhetjük a feladatot úgy is, hogy csak egy rugót tekintünk, és a testet úgy képzeljük, mintha egy függőleges súrlódásmentes sínen tudna csúszkálni. Az erre az esetre meghatározott effektív rugóállandó kétszerese lesz a valóságos a két rugó esetén.		<wlatex>A rezgési frekvencia meghatározásához fel kell írni a rugókra merőleges irányú mozgásegyenletet, azaz a visszatérítő erőt az ez irányú kitérés függvényében. Mivel a két rugó azonos hatású, kezelhetjük a feladatot úgy is, hogy csak egy rugót tekintünk, és a testet úgy képzeljük, mintha egy függőleges súrlódásmentes sínen tudna csúszkálni. Az erre az esetre meghatározott effektív rugóállandó kétszerese lesz a valóságos a két rugó esetén.
	$x=0$ egyensúlyi helyzet esetén a rugó megnyúlása $l-l_0$. Kimozdítva onnan a rugó hossza $l$ helyett már $l_2$, és $$x^2+l^2=l_2^2$$. A rugóerő $F_r=-D(l_2-l_0)$, de ez rugóirányú, ennek csak az $x$ irányú vetülete jelenik meg az $x$ irányú mozgásegyenletben. A sín és a rugó által bezárt szöget $\alpha$-val jelölve $$F_x=F_r\cos{\alpha}=F_r\frac xl_2$$ $l_2$ a fenti Pitagorasz-tételből kifejezhető, azonban a mozgásegyenlet így még túl általános, nem harmonikus rezgést ír le, ehhez ugyanis alkalmazni kell a kis kitérés közelítését is.		$x=0$ egyensúlyi helyzet esetén a rugó megnyúlása $l-l_0$. Kimozdítva onnan a rugó hossza $l$ helyett már $l_2$, és $$x^2+l^2=l_2^2$$. A rugóerő $F_r=-D(l_2-l_0)$, de ez rugóirányú, ennek csak az $x$ irányú vetülete jelenik meg az $x$ irányú mozgásegyenletben. A sín és a rugó által bezárt szöget $\alpha$-val jelölve $$F_x=F_r\cos{\alpha}=F_r\frac xl_2$$ $l_2$ a fenti Pitagorasz-tételből kifejezhető, azonban a mozgásegyenlet így még túl általános, nem harmonikus rezgést ír le, ehhez ugyanis alkalmazni kell a kis kitérés közelítését is.
	Erre számos módszer kínálkozik. Az egyik az $l_2(x)$ függvény sorbafejtése, ez $$l_2(x)=\sqrt{x^2+l^2}=l\sqrt{1+\frac{x^2}{l^2}}\approx l\left(1+\frac{x^2}{2l^2}\right)$$ Ennek második tagja $F_x$ kifejezésébe beírva összességében $x$-ben harmadrendű, tehát elhagyható, ami azt is jelenti, hogy $l_2$ elsőrendű közelítésben egyenlő $l$-el, mivel a sorfejtésben nincs $x$-el arányos lineáris tag, csak másodrendű $x^2$-tel arányos. Így a visszatérítő erő végül: $$F_x\approx -D(l-l_0)\frac xl,$$ vagyis az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l-l_0}l$$		Erre számos módszer kínálkozik. Az egyik az $l_2(x)$ függvény sorbafejtése, ez $$l_2(x)=\sqrt{x^2+l^2}=l\sqrt{1+\frac{x^2}{l^2}}\approx l\left(1+\frac{x^2}{2l^2}\right)$$ Ennek második tagja $F_x$ kifejezésébe beírva összességében $x$-ben harmadrendű, tehát elhagyható, ami azt is jelenti, hogy $l_2$ elsőrendű közelítésben egyenlő $l$-el, mivel a sorfejtésben nincs $x$-el arányos lineáris tag, csak másodrendű $x^2$-tel arányos. Így a visszatérítő erő végül: $$F_x\approx -D(l-l_0)\frac xl,$$ vagyis az effektív rugóállandó $$D_{\rm{eff}}=D\frac{l-l_0}l$$
−	A másik lehetőség a Pitagorasz-tétel négyzetes alakjának teljes differenciálját képezni, mindkét oldalon a saját $x$ és $l_2$ változó szerint. (Emlékezzünk, hogy $l$ minimális, de előfeszített hossz adott állandó paraméter!) Ebből: $2x\rm dx=2l_2\rm dl_2$ kapható, azaz a rugó kis hosszváltozása $$\rm dl_2=\frac{x}{l_2}\rm dx=\cos{\alpha}\rm dx$$ Ez utóbbi alakot egy megfelelő rajzból is felírhattuk volna, amely a sínen történő kis $\rm dx$ elmozdulást a rugó kis $\rm dl_2$ megnyúlásával veti össze, ez lett volna a harmadik, grafikus módszer. ÚJ ÁBRA. A rugóerő ezt a közelítést felhasználva $$F_r=-D(l_2-l_0)=-D(l+\rm dl_2-l_0)=-D(l-l_0+\cos{\alpha}\rm dx)$$ önmagában még látszólag lineáris $dx$-ben, de $\cos{\alpha}$ szintén kicsi ($<<1$) és a kis kitéréssel arányos, tehát ez a tag másodrendű, így elhagyható. H azonban ezt ebből még nem látnánk, képezzük $F_x$-et: $$F_x=-D(l-l_0)\cos{\alpha}-D\cos^2{\alpha}\rm dx$$ Mivel kis kitérésekre $\alpha\approx 90\circ$, így $\cos{\alpha}\ll 1$ és $\cos^2{\alpha}\ll \cos{\alpha}$, tehát a második tag még akkor is elhagyható, ha $\rm dx$ összemérhető $l-l_0$ előfeszítéssel.	+	A másik lehetőség a Pitagorasz-tétel négyzetes alakjának teljes differenciálját képezni, mindkét oldalon a saját $x$ és $l_2$ változó szerint. (Emlékezzünk, hogy $l$ minimális, de előfeszített hossz adott állandó paraméter!) Ebből: $2x\rm dx=2l_2\rm dl_2$ kapható, azaz a rugó kis hosszváltozása $$\rm dl_2=\frac{x}{l_2}\rm dx=\cos{\alpha}\rm dx$$ Ez utóbbi alakot egy megfelelő rajzból is felírhattuk volna, amely a sínen történő kis $\rm dx$ elmozdulást a rugó kis $\rm dl_2$ megnyúlásával veti össze, ez lett volna a harmadik, grafikus módszer.[[Kép:Kfgy1-6-9M.svg|none|250px]] . A rugóerő ezt a közelítést felhasználva $$F_r=-D(l_2-l_0)=-D(l+\rm dl_2-l_0)=-D(l-l_0+\cos{\alpha}\rm dx)$$ önmagában még látszólag lineáris $dx$-ben, de $\cos{\alpha}$ szintén kicsi ($<<1$) és a kis kitéréssel arányos, tehát ez a tag másodrendű, így elhagyható. H azonban ezt ebből még nem látnánk, képezzük $F_x$-et: $$F_x=-D(l-l_0)\cos{\alpha}-D\cos^2{\alpha}\rm dx$$ Mivel kis kitérésekre $\alpha\approx 90\circ$, így $\cos{\alpha}\ll 1$ és $\cos^2{\alpha}\ll \cos{\alpha}$, tehát a második tag még akkor is elhagyható, ha $\rm dx$ összemérhető $l-l_0$ előfeszítéssel.
	Összességében tehát azt látjuk, hogy előfeszítés nélkül nem lesz harmonikus rezgés, mivel annak frekvenciájára nulla adódna. (Lásd feszítetlen gitárhúr) Másodsorban a relatív előfeszítés számít, és annak négyzetgyökével arányos a frekvencia. Harmadrészt $l\gg l_0$ esetén (azaz $l\rightarrow\infty$ határesetben) visszakapjuk a rugó $D$ állandóját.</wlatex>		Összességében tehát azt látjuk, hogy előfeszítés nélkül nem lesz harmonikus rezgés, mivel annak frekvenciájára nulla adódna. (Lásd feszítetlen gitárhúr) Másodsorban a relatív előfeszítés számít, és annak négyzetgyökével arányos a frekvencia. Harmadrészt $l\gg l_0$ esetén (azaz $l\rightarrow\infty$ határesetben) visszakapjuk a rugó $D$ állandóját.</wlatex>
	</noinclude>		</noinclude>

---

A lap 2013. június 11., 12:54-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája: Deriválás Integrálás Mozgástan Erőtan I. Erőtan II. Munka, energia Pontrendszerek Merev testek I. Merev testek II. Rugalmasság, folyadékok Rezgések I. Rezgések II. Hullámok
Mechanika - Rezgések I.
Feladatok listája: Rezgések pályaegyenlete Rugóra akasztott test Rezgés kezdeti feltételekkel Rezgés egyensúlyi helyzetből Rezgő testre rápottyanó Kosárba ejtett test Rugókra merőleges rezgés Inga kétféle rezgésideje Rezgés ferde rugóval Kiskocsik rugóval Függvényalak átalakítása Eredő rezgés adatai Adott eredő rezgés Azonos kitérés ideje Lebegés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

1. (*6.9.) Két vízszintes helyzetű rugóállandójú rugó közé tömegű anyagi pontot erősítünk, amely vertikálisan kis amplitúdóval rezgéseket végez. A két rugó összhossza nyugalmi állapotban , megfeszítve . Határozzuk meg a rezgési frekvenciát, mint függvényét, ha kis amplitúdójú rezgéseket engedünk csak meg. Vizsgáljuk az határesetet!
   

Megoldás

A rezgési frekvencia meghatározásához fel kell írni a rugókra merőleges irányú mozgásegyenletet, azaz a visszatérítő erőt az ez irányú kitérés függvényében. Mivel a két rugó azonos hatású, kezelhetjük a feladatot úgy is, hogy csak egy rugót tekintünk, és a testet úgy képzeljük, mintha egy függőleges súrlódásmentes sínen tudna csúszkálni. Az erre az esetre meghatározott effektív rugóállandó kétszerese lesz a valóságos a két rugó esetén.

egyensúlyi helyzet esetén a rugó megnyúlása . Kimozdítva onnan a rugó hossza helyett már , és . A rugóerő , de ez rugóirányú, ennek csak az irányú vetülete jelenik meg az irányú mozgásegyenletben. A sín és a rugó által bezárt szöget -val jelölve a fenti Pitagorasz-tételből kifejezhető, azonban a mozgásegyenlet így még túl általános, nem harmonikus rezgést ír le, ehhez ugyanis alkalmazni kell a kis kitérés közelítését is. Erre számos módszer kínálkozik. Az egyik az függvény sorbafejtése, ez Ennek második tagja kifejezésébe beírva összességében -ben harmadrendű, tehát elhagyható, ami azt is jelenti, hogy elsőrendű közelítésben egyenlő -el, mivel a sorfejtésben nincs -el arányos lineáris tag, csak másodrendű -tel arányos. Így a visszatérítő erő végül: vagyis az effektív rugóállandó A másik lehetőség a Pitagorasz-tétel négyzetes alakjának teljes differenciálját képezni, mindkét oldalon a saját és változó szerint. (Emlékezzünk, hogy minimális, de előfeszített hossz adott állandó paraméter!) Ebből: kapható, azaz a rugó kis hosszváltozása Ez utóbbi alakot egy megfelelő rajzból is felírhattuk volna, amely a sínen történő kis elmozdulást a rugó kis megnyúlásával veti össze, ez lett volna a harmadik, grafikus módszer. . A rugóerő ezt a közelítést felhasználva önmagában még látszólag lineáris -ben, de szintén kicsi () és a kis kitéréssel arányos, tehát ez a tag másodrendű, így elhagyható. H azonban ezt ebből még nem látnánk, képezzük -et: Mivel kis kitérésekre , így és , tehát a második tag még akkor is elhagyható, ha összemérhető előfeszítéssel.

Összességében tehát azt látjuk, hogy előfeszítés nélkül nem lesz harmonikus rezgés, mivel annak frekvenciájára nulla adódna. (Lásd feszítetlen gitárhúr) Másodsorban a relatív előfeszítés számít, és annak négyzetgyökével arányos a frekvencia. Harmadrészt esetén (azaz határesetben) visszakapjuk a rugó állandóját.