„Elektrosztatika példák - Négyszög sarkaiba helyezett ponttöltések elektromos tere” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Egy $a$ oldalú négyzet csúcspontjaiba egyforma $+q$ töltést helyezünk.Mekkora és milyen irányú erő hat egy-egy töltésre? Hova kellene helyezni egy újabb töltést, hogy egyikre se hasson erő? Mekkora nagyságú, és milyen előjelű ez a töltés? | + | </noinclude><wlatex># Egy $a$ oldalú négyzet csúcspontjaiba egyforma $+q$ töltést helyezünk.Mekkora és milyen irányú erő hat egy-egy töltésre? Hova kellene helyezni egy újabb töltést, hogy egyikre se hasson erő? Mekkora nagyságú, és milyen előjelű ez a töltés?[[Kép:KFGY1-2-1.png|none|250px]] |
− | [[Kép:KFGY1-2-1.png|none|250px]]</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content= Ha azt szeretnénk, hogy egyik töltésre se hasson erő, akkor a négyzet középpontjába kell egy olyan $q*$ ellentétes előjelű töltést tennünk, ahol $q* = -(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}).$}} | + | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content= Ha azt szeretnénk, hogy egyik töltésre se hasson erő, akkor a négyzet középpontjába kell egy olyan $q*$ ellentétes előjelű töltést tennünk, ahol $q* = -(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}).$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
− | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> |
A lap 2013. július 17., 15:59-kori változata
Feladat
- Egy
oldalú négyzet csúcspontjaiba egyforma
töltést helyezünk.Mekkora és milyen irányú erő hat egy-egy töltésre? Hova kellene helyezni egy újabb töltést, hogy egyikre se hasson erő? Mekkora nagyságú, és milyen előjelű ez a töltés?
Megoldás
Ha a kiszemelt részecskén, az ábrán látható módon, felveszünk egy koordináta rendszert, akkor az egyes részecskék által okozott a kiszemelt részecske helyén felírhatjuk.
![\[\vec{E_{2}} = \frac{k\cdot{q}}{(a\cdot{\sqrt{2}})^2}\cdot\vec{e_{x}} \]](/images/math/7/d/8/7d8770394c6257771022629369fde369.png)
![\[\vec{E_{1}} = \frac{k\cdot{q}}{{a}^2}\cdot\vec{e_{x}}\cdot{\cos(\alpha)}+ \frac{k\cdot{q}}{{a}^2}\cdot\vec{e_{y}}\cdot{\sin(\alpha)} \]](/images/math/c/5/8/c5849a0651495cea680a6084f038305e.png)
![\[\vec{E_{3}} = \frac{k\cdot{q}}{{a}^2}\cdot\vec{e_{x}}\cdot{\cos(\alpha)}- \frac{k\cdot{q}}{{a}^2}\cdot\vec{e_{y}}\cdot{\sin(\alpha)} \]](/images/math/3/5/2/3523667ed2fcc2a95bb620b93f22b1d8.png)
A töltésrere ható elektromos tér a három töltés szuperpozíciójaként áll elő. Látható, hogy a négyzet átlójára merőleges erők éppen kiejtik egymást, így a kiszemelt töltésre csak átló irányú tér fog hatni. Ennek nagysága pedig:
![\[\vec{E_{e}}=\frac{k\cdot{q}}{a^{2}}\cdot{(\frac{1}{2}+\sqrt{2})}\cdot{\vec{e_{x}}}\]](/images/math/5/2/2/52287ab3eb24deddd6be4b8440501b46.png)
Amiből a töltésre ható erő:
![\[\vec{F}=\frac{k\cdot{q^{2}}}{a^{2}}\cdot{(\frac{1}{2}+\sqrt{2})}\cdot{\vec{e_{x}}}\]](/images/math/6/9/2/6924db8f74613762e896dc333f5f8e09.png)
Ha azt szeretnénk, hogy egyik töltésre se hasson erő, akkor pedig a négyzet középpontjába kell egy olyan ellentétes előjelű töltést tennünk, amely által keltett erő éppen ellenttart a négyzet többi töltése által okozott eredő erővel.
![\[\vec{F*}=\vec{-F_{e}} \]](/images/math/8/4/b/84b27c911e8470a954434ae70aa07f3b.png)
![\[\frac{k\cdot{q^2}}{a^2}\cdot{(\frac{1}{2}+\sqrt{2})}=-\frac{k\cdot{q}\cdot{q*}}{{(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot{a})}^2} \]](/images/math/b/5/1/b5136030dbb9c100eadb2942588420ca.png)
Innen pedig:
![\[q* = -(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}).\]](/images/math/d/9/1/d9105ea91b5f1e07347113c6dcb80225.png)