„Elektrosztatika példák - Egyenletesen töltött körlap tengelye mentén az elektromos tér” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Feladat) |
|||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># | + | </noinclude><wlatex># Adott egy $R$ sugarú korong egyenletesen töltött $\omega$ felületi töltéssűrűséggel. Határozzuk meg a térerősséget a körvezető tengelyén, a korong síkjától $z$ távolságban! |
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az $R$ sugarú korongunkat osszuk igen vékony, $0<r<R$ sugarú töltött gyűrűk sokaságára}}{{Végeredmény|content=$$E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}} \left(1-\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right)$$}} | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Az $R$ sugarú korongunkat osszuk igen vékony, $0<r<R$ sugarú töltött gyűrűk sokaságára}}{{Végeredmény|content=$$E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}} \left(1-\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right)$$}} | ||
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> |
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 12., 16:57-kori változata
Feladat
- Adott egy
sugarú korong egyenletesen töltött
felületi töltéssűrűséggel. Határozzuk meg a térerősséget a körvezető tengelyén, a korong síkjától
távolságban!
Megoldás
Induljunk ki az előző feladat megoldásából, amely szerint egy sugarú,
töltéssel egyenletesen töltött gyűrű tengelyén a térerősség az alábbiak szerint írható le:
![\[ E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(r^2+z^2)^{3/2}} \]](/images/math/a/c/6/ac6a55602380a259629697b352517c1a.png)
Ahol a gyűrű síkjától mért távolság.
Az sugarú korongunkat felosztjuk igen vékony,
sugarú töltött gyűrűk sokaságára az ábra szerint. Ebben az esetben egy gyűrű
területe:
![\[ dA=2r\pi dr\]](/images/math/5/e/4/5e42d1d4ea1284b69c3ecae731935466.png)
Ahol a gyűrű szélessége. Ez alapján a gyűrű
töltése:
![\[dQ=\omega dA=2r\pi\omega dr\]](/images/math/6/3/4/63410f2bc422398396f4c935a6a2eae6.png)
A gyűrű térerősség járuléka a kérdéses pontban:
![\[ dE=\dfrac{dQ}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(r^2+z^2)^{3/2}}=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}}\dfrac{rz}{(r^2+z^2)^{3/2}}dr \]](/images/math/4/2/b/42b7a7d73f08d83ec7e7d336929695fc.png)
Az elemi gyűrűk térerősség járulékait összegezzük:
![\[E= \int_0^R dE=\dfrac{z\omega}{2\varepsilon_{0}}\int_0^R\dfrac{r}{(r^2+z^2)^{3/2}}dr=\int_0^R dE=\dfrac{z\omega}{2\varepsilon_{0}} \left[-\dfrac{1}{(r^2+z^2)^{1/2}} \right]_0^R \]](/images/math/4/8/9/489a7377b10fd736be547836aaaf2360.png)
Tehát a korong elektromos tere:
![\[E=\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}} \left(1-\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right)\]](/images/math/e/7/6/e760b68831c68f2b1ca6a11b95ddee89.png)
Érdekesség: Ha a korong méretét minden határon túl növeljük, a fenti összefüggés határértéke visszaadja a végtelen síklap jól ismert térerősség formuláját:
![\[E=\lim_{R \to \infty}\dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}} \left(1-\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{1/2}} \right) = \dfrac{\omega}{2\varepsilon_{0}}\]](/images/math/a/e/a/aeae41530542d272cda166752a72cb3c.png)