„Elektrosztatika példák - Végtelen hosszú egyenes fonál elektromos tere 1.” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
(→Megoldás) |
||
16. sor: | 16. sor: | ||
[[Kép:KFGY2-1-5.png|none|300px]] | [[Kép:KFGY2-1-5.png|none|300px]] | ||
− | A $ | + | A vonaltöltés pontjait a vizsgált pontból a vonaltöltésre állított merőlegeshez mért $\alpha$ látószög szerint parametrizáljuk. A vonaltöltés infinitezimális $d\alpha$ szög alatt látszódó szakasza $dl$ hosszúságú. Határozzuk meg $dl$-t $\alpha$ függvényében! A vonaltöltés elemi szakasza és a vizsgált pont közötti $r$ távolság: |
− | $$ | + | $$r=\frac{d}{\cos( \alpha)}$$ |
− | + | ||
− | $$ | + | Ez alapján az ábrán jelölt $dl'$ szakasz hossza: |
+ | |||
+ | $$dl'=rd\alpha=\frac{d}{\cos( \alpha)}d\alpha$$ | ||
+ | |||
+ | Merőleges szárú szögek tétele alapján belátható, hogy a kérdéses $dl$ szakasz hossza: | ||
+ | |||
+ | $$dl=\frac{dl'}{\cos( \alpha)}=\frac{d}{\cos{\alpha}^{2}}d\alpha$$ | ||
+ | |||
+ | Ebből a vonaltöltés elemi szakaszának töltése: | ||
+ | |||
+ | $$dQ =\lambda dl =\lambda\cdot\frac{d}{\cos{\alpha}^{2}}d\alpha$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Az $\alpha$ szög alatt látszó, $dq$ töltésű elemi szakasz terének $dE$ nagysága a kérdéses pontban: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $$dE = k\cdot\frac{dQ}{r^2}= k\cdot\frac{dQ}{(\frac{d}{\cos{\alpha}})^{2}}$$ | ||
+ | |||
+ | Ezen térerősség vonaltöltésre merőleges $dE_z$ komponense: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $$dE_z =dE\cos(\alpha) = k\cdot\frac{dQ}{(\frac{d}{\cos{\alpha}})^{2}}\cdot\cos{\alpha}$$ | ||
A fonállal párhuzamos irányú térerősségek kiejtik egymást. | A fonállal párhuzamos irányú térerősségek kiejtik egymást. | ||
− | + | A töltéselrendezés által a kérdéses pontban keltett tér nagyságát integrálással határozhatjuk meg: | |
+ | |||
+ | |||
$$E_{z}= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}k\cdot\lambda\cdot\frac{\cos\alpha}{d}d\alpha$$ | $$E_{z}= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}k\cdot\lambda\cdot\frac{\cos\alpha}{d}d\alpha$$ | ||
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 12., 17:40-kori változata
Feladat
- Végtelen hosszú egyenes fonálon a lineáris töltéssűrűség
. Mekkora az elektromos térerősség a fonáltól
távolságra? ( A keresett térerősséget, pontszerű töltések erőterének szuperpozíciójaként állítsuk elő!)
Megoldás
A keresett elektromos teret, pontszerű töltések szuperpozíciójaként állítjuk elő.
A vonaltöltés pontjait a vizsgált pontból a vonaltöltésre állított merőlegeshez mért látószög szerint parametrizáljuk. A vonaltöltés infinitezimális
szög alatt látszódó szakasza
hosszúságú. Határozzuk meg
-t
függvényében! A vonaltöltés elemi szakasza és a vizsgált pont közötti
távolság:
![\[r=\frac{d}{\cos( \alpha)}\]](/images/math/7/0/0/700b89c56ffa33ac90f60de362460c85.png)
Ez alapján az ábrán jelölt szakasz hossza:
![\[dl'=rd\alpha=\frac{d}{\cos( \alpha)}d\alpha\]](/images/math/4/5/3/453a723fb36d39ec2759d44e52c25707.png)
Merőleges szárú szögek tétele alapján belátható, hogy a kérdéses szakasz hossza:
![\[dl=\frac{dl'}{\cos( \alpha)}=\frac{d}{\cos{\alpha}^{2}}d\alpha\]](/images/math/4/0/3/403258c46d82690ffb379be51df88bcc.png)
Ebből a vonaltöltés elemi szakaszának töltése:
![\[dQ =\lambda dl =\lambda\cdot\frac{d}{\cos{\alpha}^{2}}d\alpha\]](/images/math/9/e/3/9e35e53cf16883fdae8791acb8e83755.png)
Az szög alatt látszó,
töltésű elemi szakasz terének
nagysága a kérdéses pontban:
![\[dE = k\cdot\frac{dQ}{r^2}= k\cdot\frac{dQ}{(\frac{d}{\cos{\alpha}})^{2}}\]](/images/math/d/6/f/d6fbbd93dff64d6a38afc4203edd4244.png)
Ezen térerősség vonaltöltésre merőleges komponense:
![\[dE_z =dE\cos(\alpha) = k\cdot\frac{dQ}{(\frac{d}{\cos{\alpha}})^{2}}\cdot\cos{\alpha}\]](/images/math/c/1/3/c1388d4b5198452c694ca2c040c5aad2.png)
A fonállal párhuzamos irányú térerősségek kiejtik egymást.
A töltéselrendezés által a kérdéses pontban keltett tér nagyságát integrálással határozhatjuk meg:
![\[E_{z}= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}k\cdot\lambda\cdot\frac{\cos\alpha}{d}d\alpha\]](/images/math/3/6/f/36f13fdc0e631413f953b78a4ead0f51.png)
Vagyis:
![\[E_{z} = \frac{2\cdot k\cdot\lambda}{d}\]](/images/math/3/2/5/3252847534a1b7fb7d6b1e0697c9514e.png)